【題目鏈接】
【算法】
用f[i][j]表示走到(i,j)這個位置有多少種方案，因爲走到(i,j)這個位置，上一步一定在它左上角的矩形中，所以，
f(i,j) = sigma( f(x,y) ) ( (x,y)在左上角的矩形中）
我們嘗試將它畫出來，發現是斜着的楊輝三角
然後，通過找規律，我們發現 : f(n,m) = C(n+m-4,n-2)
求C函數的值，這裏有一種方法 ：
C(n,r) mod P = (n! / (n - r)! / r!) mod P
= (n!) mod P * inv( (n - r)! ) mod P * inv( r! ) mod P（ 其中,inv表示乘法逆元 ）
考慮預處理階乘和階乘逆元
階乘很容易求，那麼，階乘逆元怎麼求呢？
這裏有一種線性求階乘逆元的方法 ( 如果我們要求 inv( n! ) ) ：
inv(n ! ) = inv( (n - 1)! n )
= inv( (n - 1)! ) inv( n )
所以 inv( (n - 1)! ) = inv( n ! ) * inv( inv( n ) )
= inv( n! ) * n
有了這個式子，我們便可以在線性時間內求出所有的階乘逆元
這一題，我們只要預處理階乘和階乘逆元，然後，O(1)回答詢問，即可
【代碼】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 200010
const long long P = 1000000007;
long long n,m;
long long fac[MAXN],inv[MAXN];
inline long long power(long long a,long long n)
{
long long ans = 1,b = a;
while (n > 0)
{
if (n & 1) ans = (ans * b) % P;
b = (b * b) % P;
n >>= 1;
}
return ans;
}
inline void init()
{
int i;
fac[0] = 1;
for (i = 1; i < MAXN; i++) fac[i] = fac[i-1] * i % P;
inv[MAXN-1] = power(fac[MAXN-1],P-2);
for (i = MAXN - 2; i >= 1; i--) inv[i] = inv[i+1] * (i + 1) % P;
}
inline long long C(long long n,long long m)
{
if (!m) return 1;
else if (n == m) return 1;
else return fac[n] * inv[n-m] % P * inv[m] % P;
}
int main() {
init();
while (scanf("%d%d",&n,&m) != EOF)
{
printf("%lld\n",C(n+m-4,n-2));
}
return 0;
}
/*
f( n! ) = f( (n-1)! n) = f( (n - 1)! ) f(n)
f( n! ) * f( f(n) ) = f( (n - 1)! )
f( n! ) * n = f( (n - 1)! )
f( n! ) = f ( (n + 1)! ) * (n + 1)
*/