hdu5159 Card(組合數學)BC26

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問題描述
桌子上有a張牌，每張牌從1到a編號，編號爲i(1<=i<=a)的牌上面標記着分數i , 每次從這a張牌中隨機抽出一張牌，然後放回，執行b次操作，記第j次取出的牌上面分數是 Sj , 問b次操作後不同種類分數之和的期望是多少。
輸入描述
多組數據，第一輸入數據組數T ,接下來T行，每行兩個整數a,b以空格分開


[參數說明]
所有輸入均爲整數
1<=T<=500000
1<=a<=100000
1<=b<=5
輸出描述
輸出答案佔一行，輸出格式爲 Case #x: ans, x是數據編號從1開始，ans是答案，精確到小數點後3位。
看樣例可以得到更多信息。
輸入樣例
2
2 3
3 3
輸出樣例
Case #1: 2.625
Case #2: 4.222


提示：
對於第一組數據所有牌型的組合爲(1, 1, 1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)
對於(1,1,1)這個組合，他只有一種數字，所以不同數字之和爲1
而對於(1,2,1)有兩種不同的數字，即1和2，所以不同數字之和是3。
所以對應組合的不同數字之和爲1，3，3，3，3，3，3，2
所以期望爲(1+3+3+3+3+3+3+2)/8=2.625
分析；
E = sum(i*Pi)   (1<=i<=a);


Pi 表示i在這b次中出現的概率Pi =  1 -  (1 - 1/a)^b;  
因爲求的是i在這b次中"有"出現的概率所以是(1-i從不出現)


由於pi都相等 因此
EX= (1+a)*a/2*pi;
*/

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
int t,c=1;
cin>>t;
while(t--)
{
__int64 a,b;
scanf("%I64d%I64d",&a,&b);
double p=1-pow((a-1)/(1.0*a),b*1.0);
//因爲求的是i在這b次中"有"出現的概率所以是(1-i從不出現)
__int64 sum=(a+1)*a/2;
double ans=sum*p;
//組合中包含某個數的次數對於所有的數來說是相同的
//那麼EX=1*E(X1)+2*E(X2)+3*E(X3)+...+x*E(Xx)=(1+x)*x/2*(1-(1-1/x)^b)
printf("Case #%d: %.3lf\n",c++,ans);
}
return 0;
}

//DP版

#include <cstdio>
#include<iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef __int64 ll;
const int N = 100000+5;
using namespace std;
double dp[N][6], d[11][2];
//d[j][0]:i從不出現的概率
//d[j][1]:i在前j次出現的概率
//dp[i][j]:i個數爪j次後不同種類分數之和的期望是多少
void init(int n) {
d[0][0] = 1;
    d[0][1] = 0;
    for(int i = 1;i <= n; i++) 
{
        //dp[i][0] = 0;        
        double tmp = (double)i*(i+1)/2;
        for(int j = 1;j <= 5; j++) 
{
            d[j][0] = d[j-1][0]*(1.0*(i-1)/i);//j次都不出現i的概率
            d[j][1] = d[j-1][1] + d[j-1][0]/i;
//本次d[j][1]出現i概率=前次+d[j-1][0]*(1/i)(:之前都沒出現*出現i的概率爲(1/i))
       dp[i][j] = d[j][1]*tmp; //(每個pi都相等:同上例EX=1*E(X1)+2*E(X2)+3*E(X3)+...+x*E(Xx)=(1+x)*x/2*(1-(1-1/x)^b))
        }
    }
}
int main() {
    init(100000);
    int t, cas = 1;
    int n, m;
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        printf("Case #%d: %.3f\n", cas++, dp[n][m]);
    }
    return 0;
}