8、關係

作者：whj95

導讀

關係

性質與應用

　　首先羅列一些“無關緊要”的定義吧，如果讀者不喜看或者看不懂英文可以直接跳過，或者稍微看看我個人的理解。貼這些定義只爲自己日後複習方便。

基礎性質

　　定義1：
　　
　　非任意a,b構成形如(a,b)均可稱爲關係，a,b間必須遵從某種特殊關係R：
　　eg：設A爲籃球球星的集合，B爲等級的集合，R爲符合球星的等級，顯然（邁克爾喬丹，一般球員），（德安德魯喬丹，名人堂）都不在R中，而（納什，名人堂）就在R中。
　　注：在關係中的R表示的意思爲Relations，(x,y)∈R，記爲xRy，其意爲(a,b)屬於R或a,b有某種關係R；而在關係的一種特殊形式 函數 中出現的R爲有理數Rational number，此時集合A爲定義域，B爲值域，兩者含義不同。
　　
　　定義2：
　　
　　只有A一個人，所以他的的關係只有自己對自己，即(ai ,ai )∈R,(i = 1,2,3,…..,n)。
　　注： 子集=關係=2n *n（因爲A與A的對應都在R上，不存在A對應B不屬於R的情況，所以關係數等於子集數） 推導比較簡單，假設有m個元素，子集數=2m ；而m個元素是由A中的n個高冷的人一一對應構成的，故m = n∗n
　　
　　定義3：
　　
　　承接定義2，單身狗比較特殊，如果這個關係R中每個人都能對應到自己，則稱它爲自反的(reflexive)。
　　注：集合正整數“整除”即爲自反，因爲自己能除自己；而集合有理數就不是自反的，因爲高冷的0不能對應自己。
　　
　　定義4：
　　
　　所有的(a,b)∈R，若(b,a)∈R，則稱其爲對稱的(symmetric)，即享有對稱的地位；所有的 a≠b，(a,b)∈R，若(b,a)∉R，我們稱其爲反對稱的(antisymmetric)。
　　注：存在即是對稱又是反對稱的情況——裁判員又是運動員的情況，即a=b。
　　
　　定義5：
　　
　　其實就是簡單的傳遞性。即(a,b)∈R，(b,c)∈R，若(a,c)∈R，則R爲傳遞的(transitive)。
　　

運算性質：　

　　關係有着∪ 、∩ 、⊕ 、-這四種運算，前三者與集合運算中的並、交、異或基本相同，滿足交換律；而關係的減法不滿足交換律，其以前者爲模板，減去兩者的交集
eg：A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4}；
　　R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} ，R2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)}
那麼：
　　R1 ∪ R2 = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 2),(3, 3)},
　　R1 ∩ R2 = {(1, 1)},
　　R1 − R2 = {(2, 2),(3, 3)},
　　R2 − R1 = {(1, 2),(1, 3),(1, 4)}。
　　R1⊕ R2 = {(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 2),(3, 3)}
　　
　　定義6：
　　
　　這裏引入一個新的運算概念，合成(composite)。然而其表示方法和函數的複合換湯不換藥，R與S的合成記作S ◦R。其運算方法爲：從R中找(a,b)，從S中找(b,c)，組成新的關係(a,c)的集合
　　eg：R = {(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4)}，S = {(1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}.Find composite of R and S.
　　我們可以找到R中(1, 1)和S中(1, 0)合成爲(1,0)，其他同理。
　　∴S ◦ R = {(1, 0), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1)}
　　
　　定義7：
　　
　　只是多次合成而已
　　
　　定理1：
　　
　　比較顯而易見，因爲合成本身就是運用了傳遞性
　　

表示方法

利用矩陣

　　利用0-1矩陣，在關係裏的就記爲1，不在爲0
　　自反型：
　　
　　對稱型及非對稱型：
　　

　　運算：
　　交、並：正常合取、析取的延伸
　　合成：正常矩陣乘法
　　

利用有向圖

　　其實和矩陣沒什麼區別，只是將行->列直觀的表示爲端點->終點
　　來發例子：
　　
　　R：自反（√），對稱（×），傳遞（×）
　　S：自反（×），對稱（√），傳遞（×）

閉包 Closures

定義及有向圖表示

　　定義：讓某種 不完美的 關係R 最有效地補充爲 某種完美的性質（自反、對稱、傳遞）
　　有向圖表示：

傳遞閉包與沃舍爾算法 （Warshall’s Algorithm）

　　定義一：
　　
　　存在從a->b的路徑當且僅當（a，b）∈Rn ，容易理解因爲本身有向圖的表示利用的就是傳遞關係的合成
　　
　　定義二：
　　
　　給出閉包的概念，R∗ 是所有a->b的道路

　　定理：
　　
　　利用0-1矩陣進行閉包計算，n個元素的閉包矩陣就是M∗ =M∨ M2∨ M3
　∨ M4∨ ….∨ Mn

沃舍爾算法 （Warshall’s Algorithm）
　　①先畫出有向圖
　　②n個元素按字典序順序分佈寫出n個矩陣，第n個矩陣即爲結果
　　③遍歷矩陣，內點不超過n個且只利用前n個字典序字母的能到達的行->列記爲1，否則爲0
　　例子如下：
　　
　　
　　
　　W2 增加了內點b,c然而並沒有增加一條通路，所以與W1 相等
　　
　　

等價關係

　　定義：關係R滿足自反性，對稱性，傳遞性
　　等價類（Equivalence Classes）：所有滿足某關係R的元素的集合，集合裏的元素都是等價的，這個集合稱爲等價類
　　劃分（Partitions）：根據需求將等價類分成互斥的若干個集合
　　

偏序 （Partial Orderings）

定義

　　自反性、反對稱、傳遞性的集合，這樣的集合S與某關係R構成（S,R）稱爲偏序集（poset）
　　

可比性 （comparable）

　　在偏序集中，偏序S中有兩個元素a,b滿足關係R則稱這兩個元素可比。如果任意兩個元素都可比，稱這個偏序集爲線序集（linearly ordered set）或全序集（total ordered set）;而S中任意子集有最小元素的稱爲良序集（well-ordered set）
　　偏序————–>線序（全序）————->良序
　　

哈塞圖 （Hasse Diagrams）

　　定義：一種表示偏序關係的圖。它規定向上爲方向（去箭頭）並要求①去自環（因爲自反性肯定有）②去冗餘邊（傳遞性可到達）
　　例子如下：
　　
　　
　　極大元（maximal element）、極小元(minimal element)：類似高數的極大值極小值，極大元爲“頂元素”，極小元爲“底元素”。
　　關於下面這幅圖極大元是：12、20、25，極小元是2、5
　　
　　
　　最大元素（greatest element）、最小元素（least element）： 只有兩個字，唯一
　　下圖(a)有最小，沒有最大（因爲大的不唯一，有三個）；(b)都沒有；(c)極大元d；(d)都有，略過討論。
　　
　　
　　上界（upper bound）、下界（lower bound）：在哈塞圖中給定點的連線能向上延伸經過的點都爲上界（延伸不能回頭），其中最小的點爲最小上界(least upper bound)；向下下沉經過的點都爲下界（下沉不能回頭），其中最大的點爲最大下界(greatest lower bound)。
　　下圖中，集合{b,d,g}的上界爲三點相連後延伸的上界爲g,h 下界爲b,a；{d,e}的上界爲f,j,h 下界爲b,a
　　

格 (Lattice)

　　定義：偏序集的每對元素都有最小上界和最大下界即爲格
　　下圖例子中，(a)、(c)爲格，(b)中{b,c}沒有最小上界（不唯一所以沒有)所以不是格
　　
　　拓撲排序：根據哈塞圖自下而上層層篩出
　　給個例子：