作者：whj95

導讀

圖的定義

定義1：

　　圖由頂點（vertices）和邊(edges)構成
　　
定義2：

　　有向圖(directed graph)表示爲(ａ,b)，ａ爲起始點，b爲終止點。值得一提的是，無向圖的表達爲{a，b}.
　　

圖的術語

無向圖

定義1：

　　在無向圖中，我們把兩個有邊連接起來的端點，兩點彼此稱爲鄰接(adjacent/neighbors)，這條邊與他們關聯(connect).
　　
定義2：

　　給出無向圖中度(degree)的概念，頂點a的度記爲deg(a)，表示a點鄰接的邊數。
　　注：1個環(loop)貢獻2個度。　

定理1：
　　
　　握手定理：簡而言之，即總度=總邊數*2。很容易理解，1條邊必然對2個頂點各有貢獻1個度（包括自環）。

定理2：

　　簡而證之，由於定理１，總度必爲偶數，所以奇數度頂點必有偶數個。

有向圖

定義1：

　　注意此處開始有順序，鄰接分爲鄰接到(adjacent to)和從…鄰接(adjacent from)。我們將首尾的兩點分別稱爲：起點(initial vertex)，終點(terminal/end vertex)。

定義2：

　　介紹入度(deg− (v))及出度(deg+ (v))。入度即爲進入的（箭頭指入的），出度即爲出去的（箭頭指出的）。環各貢獻1個入度，1個出度。
　　注意： deg− 表示入度（可以理解爲只索取不給予，毫無貢獻，所以給負分“-”）。

定理1：

　　入度=出度=總邊數。
　　簡單理解：“收支平衡的月光族”
　　

圖的表示

圈圖/C圖

　　圈圖(circle)。相鄰邊相接，示例如下：
　　

星圖/S圖

　　星圖(star)。有一箇中心點與所有的點連接，而其他點各不相連，示例如下：
　　

輪圖/W圖

　　輪圖(wheel)。圈圖+星圖（圈圖和星圖的並運算），示例如下：
　　

完全圖/K圖

　　完全圖(complete)。每個點與其他所有點都相連，示例如下：
　　
　　注：無向完全圖的邊數爲C2n ，有向完全圖的邊數爲P2n 。理解：即n個點取2個點連線，無向無順序，有向需順序。

二部圖/偶圖

定義：

　　二部圖(bipartite)即爲每條邊的兩個端點必須分別坐落在兩個不同的集合(紅方藍方)裏。所以，可用紅藍染色法（相鄰頂點顏色不同即二部圖，否則不是）來檢測一個圖是否爲二部圖。
　　

完全二部圖

　　完全二部圖（complete bipartite）定義簡述爲：二部圖中兩集合中的元素滿射。
　　如下圖所示 K2,3, K3,3, K3,5, and K2,6即爲完全二部圖：
　　

子圖生成子圖導出子圖主子圖

　　如下圖所示，G1是G的生成子圖（保留所有頂點即可），G2是G的導出子圖（induced subgraph，選出部分頂點及其所有互聯邊），G3是G的主子圖（主圖-除去部分頂點及其所有互聯邊）。

並運算

　　沒什麼好說的，並運算的延伸而已。
　　

圖的同構

鄰接表 (adjacency list)

鄰接矩陣 (adjacency matrix)

關係矩陣 (incidence matrix)

同構 (isomorphism)

　　①首先是否有相同的邊、相同的頂點數、各頂點的度。都符合則跳至②，否則不是同構；②檢查某些點是否相連，比如度均爲2的點是否連接。如圖不是同構，因爲G中度3與度2相連，H中度3與度3相連：
　　

連通性 connectivity

基本概念

　　通路 (path)：若干點的連線
　　長度 (length)：邊的數目
　　迴路 (circuit)：頭尾點相同
　　
　　①簡單(simple)的定義：通路中沒有經過重複邊和自環
　　　　跡 (trail）：簡單 path
　　②基本的定義：通路中沒有經過重複點
　　　　環 (cycle)：基本 circuit（除了頭尾相等）

無向圖的連通性

　　連通性 (connected)⇐⇒ 每個點間都有通路
　　連通分支 (connected component)：無公共點的若干個連通子圖的並
　　
　　割點 (cut vertex)：除去一個點及與這點有關的所有邊，能把連通圖切爲若干連通分支
　　割邊/橋 (cut edge/bridge)：除去一條邊，能把連通圖切爲若干連通分支
　　

有向圖的連通性

　　強連通 (strongly connected)：每個點互相都能到達（雙向通路可以間接到達）
　　弱連通 (weakly connected)：不考慮方向，到達即可
　　
　　G是強連通，因爲處處互相都能連通；H是弱連通，因爲考慮有向無法處處到達，無向纔可以。
　　計算通路數：貼個例題就好：
　　

歐拉通路及漢密爾頓通路

歐拉通路與歐拉回路

無向歐拉

　　
　　歐拉回路 (Euler circuit)：歐拉+簡單迴路 走完所有的邊不重複並返回起點
　　歐拉通路 (Euler path)：歐拉+簡單通路 走完所有的邊不重複。例題：
　　
　　歐拉回路充要條件：所有點都是偶數度
　　歐拉通路充要條件：有且僅有 2個點爲 奇數度，且必須以奇數度作爲端點出發
　　

有向歐拉

　　歐拉回路充要條件：所有點都是入度=出度
　　歐拉通路充要條件：1個點入度<出度，1個點入度>出度，其他點入度=出度。來個例子：
　　
　　

de Bruijn Cycles

　　這部分略去。

漢密爾頓通路與漢密爾頓迴路

　　漢密爾頓迴路 (Hamilton circuit)：漢密爾頓+基本回路 走完所有的點不重複並返回起點
　　漢密爾頓通路 (Hamilton path)：漢密爾頓+基本通路 走完所有的點不重複。例題：
　　
　　簡單判定規律
　　①存在 度= 1 無漢密爾頓迴路
　　②2度頂點的兩條邊屬於任意漢密爾頓迴路
　　③n>=3時，完全圖均有漢密爾頓迴路
　　
　　漢密爾頓迴路充分條件（不滿足也有可能是漢密爾頓迴路）
　　①狄拉克、奧爾定理(Dirac’s/Ore’s theorem)：
　　②
　　
　　③完全二部圖K(n,n)上下端點相等則有漢密爾頓迴路
　　
　　漢密爾頓通路充分條件
　　①
　　

最短通路

　　帶權圖：每條edge都附上了“權”的色彩，長度length≠邊數和，而是=權和。

狄克斯特拉算法 (Dijkstra’s Algorithm)

　　①選擇定點 v1=0，其他頂點爲∞
　　②與這個頂點的有關邊全部走過，並在所有終端點處記下總通路（v1到此終端點）的權和，更新最小值
　　③沿最短路徑移動定點，重複②
　　
　　具體算法借用數據結構中的例子，以C語言爲例：

/*
測試數據 教科書 P189 G6 的鄰接矩陣 其中 數字 1000000 代表無窮大
6
1000000 1000000 10 100000 30 100
1000000 1000000 5 1000000 1000000 1000000
1000000 1000000 1000000 50 1000000 1000000
1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 10
1000000 1000000 1000000 20 1000000 60
1000000 1000000 1000000 1000000 1000000 1000000
結果：
D[0]   D[1]   D[2]   D[3]   D[4]   D[5]
 0   1000000   10     50     30     60
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define MAX 1000000
using namespace std;
int arcs[10][10];//鄰接矩陣
int D[10];//保存最短路徑長度
int p[10][10];//路徑
int final[10];//若final[i] = 1則說明 頂點vi已在集合S中
int n = 0;//頂點個數
int v0 = 0;//源點
int v,w;
void ShortestPath_DIJ()
{
     for (v = 0; v < n; v++) //循環 初始化
     {
          final[v] = 0; 
          D[v] = arcs[v0][v];
          for (w = 0; w < n; w++) 
              p[v][w] = 0;//設空路徑
          if (D[v] < MAX) 
          {
              p[v][v0] = 1; 
              p[v][v] = 1;
          }
     }
     D[v0] = 0; 
     final[v0]=0; //初始化 v0頂點屬於集合S
     //開始主循環 每次求得v0到某個頂點v的最短路徑 並加v到集合S中
     for (int i = 1; i < n; i++)
     {
          int min = MAX;
          for (w = 0; w < n; w++)
          {
               //我認爲的核心過程--選點
               if (!final[w]) //如果w頂點在V-S中
               {
                    //這個過程最終選出的點 應該是選出當前V-S中與S有關聯邊
                    //且權值最小的頂點 書上描述爲 當前離V0最近的點
                    if (D[w] < min) 
                    {
                        v = w; 
                        min = D[w];
                    }
               }
          }
          final[v] = 1; //選出該點後加入到合集S中
          for (w = 0; w < n; w++)//更新當前最短路徑和距離
          {
               /*在此循環中 v爲當前剛選入集合S中的點
               則以點V爲中間點 考察 d0v+dvw 是否小於 D[w] 如果小於 則更新
               比如加進點 3 則若要考察 D[5] 是否要更新 就 判斷 d(v0-v3) + d(v3-v5) 的和是否小於D[5]
               */
               if (!final[w] && (min+arcs[v][w]<D[w]))
               {
                    D[w] = min + arcs[v][w];
                   // p[w] = p[v];
                    p[w][w] = 1; //p[w] = p[v] +　[w]
               }
          }
     }
}


int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
         for (int j = 0; j < n; j++)
         {
              cin >> arcs[i][j];
         }
    }
    ShortestPath_DIJ();
    for (int i = 0; i < n; i++) 
        printf("D[%d] = %d\n",i,D[i]);
    return 0;
}

　　距離矩陣 (distance matrix)：行爲起始點，列爲終端點，有通路的賦權值，無通路的爲∞。尋找最短路徑用的仍是狄克斯特拉算法①尋找定點v1（即第一行）；②然後選擇最短路徑（下圖爲25），記下終端點作爲新定點（下圖爲v5即第五行），並通過定點與該行所有元素累加（即走過所有有關邊）時時更新最短路徑和；③重複②直到所有終端點都遍歷。一發例子如下：
　　
　　

Warshall-Floyd theorem

　　①第一行第一列第二行第二列….以此類推畫出基準
　　②忽略其中的無窮項，根據基準權和小的取代權和大的
　　③選取方法爲行選一個列選一個加和，然後行列同時後（下）移一位繼續，直至選完
　　例子：
　　
　　

可平面圖

　　定義：一個圖如果各邊除了端點外沒有其他交點，則可平面(planar)
　　判定方法：先假設可平面。選取幾個點畫出可平面圖形，然後分割出區域餘下的點分別嘗試放入不同的區域，看看最後會不會引起矛盾。來發例子：
　　
　　歐拉公式： v+r = e+2(面+點=邊+2)
　　
　　推論1：
　　證明爲引入面次數的概念，一個面至少有3次，2e = ∑ deg(R)>=3r，再運用歐拉公式可得。可證明K5不可平面
　　注：不滿足一定不可平面，滿足不一定可平面
　　
　　推論2：
　　證明爲推論1+握手定理
　　
　　推論3：
　　與1相比實則蘊含v≥4的條件，可證明K3,3不可平面
　　

庫拉圖斯基定理 (Kuratowski’s Theorem)

　　理論基礎：若該圖子圖包含K3,3，K5及其同構則一定不可平面
　　初等細分( elementary subdivison)：刪除一條邊，添加新頂點與刪除邊的端點各自連接，不改變可平面性
　　通過引入細分概念尋找同胚圖( homeomorphic)，引用2個例子：
　　
　　
　　注：若頂點deg=4，嘗試轉化爲K5；若deg=3，嘗試轉化爲K3,3
　　

圖着色

　　色數（chrometic number）:所有頂點染色（相鄰點顏色不同）所需要的最小顏色數
　　不同圖所需色數：
　　①Kn圖，n種（顯而易見）
　　②Km,n圖，2種(二部圖的標誌)
　　③Cn圖，當n爲偶數，2種（舉例即可顯而易見）
　　　　　　當n爲奇數，3種

whj95

發佈了23 篇原創文章 · 獲贊 3 · 訪問量 1萬+

私信關注

9、圖

導讀