leetcode之全排列問題(Permutations)

在leetcode上，跟Permutations有關的題目：

• 31 Next Permutation
• 46 Permutations

一.31 Next Permutation

　　31題是排列的入門題，給出[1,2,3,4]，需給出下一排列[1,2,4,3]。這題有固定的解法，給定排序nums[n]=[1,4,2,7,6,5,3],n=0~6：

1. 從序號6開始往前尋找第一對嚴格遞減（即找到第一個小於的數，從後往前看）的兩個數，在這裏是[2,7]，記作[i,j]，從7→2是嚴格遞減。
2. 從序號6開始尋找第一個大於序號i的數2，找到數3序號k，交換數2序號i和數3序號k，得到[1,4,3,7,6,5,2]
3. 將從j開始（從7開始）一直到最後的序列改爲正序（此時的序列一定是逆序的），得到[1,4,3,2,5,6,7]

這裏考慮兩種極端情況[1,2,3,4,5,6,7]和[7,6,5,4,3,2,1]。
　　前一種情況：[i,j]=[6,7]，[k]=[7]；交換i,k，即6和7；反轉從k開始的序列，這種情況不特殊，可與一般情況的一起處理；
　　後一種情況：i<0,j=0，直接全體逆序一下即可，這種情況特殊，不能和一般情況一起處理。

二.46 Permutations

本題可以有三種解法：

1. 回溯法（此方法也是leetcode上提示的方法）
2. 利用31題，只要知道一種排列，後續的都可以next出來
3. 使用dfs

2.1 回溯法

　　回溯法的本質是類似於枚舉的搜索嘗試過程，一般都帶着條件去搜索，如果發現繼續搜索下去也找不到最優解，那麼在此點就開始回溯。一般我們將它的解空間轉化轉化爲樹的形式，這樣便於理解。
　　這裏我們以排序[1,2,3,4]爲例，畫出它的解空間樹。每當i=4的時候，說明已經找到了一個解。需要尋找下一個解。比如找到了第4層的2314後，這時已經到頭了，我們需要回溯，返回到第3層，再返回到第2層的2314，然後沿着另外一條路到了第4層的2341，這樣就找到了另一個解。

　　在排列問題中，沒有約束條件，沒有約束條件的回溯有點像暴力窮舉，要達到葉子結點纔會回溯。如要有條件的話，就可以對解空間樹進行剪枝，可以避免許多明顯不必要搜索的路徑。
　　用遞歸實現的回溯比較簡單易懂，回溯法一般有以下模板：

//用遞歸實現回溯的一般模板
void backTrack(int i) {
    if(i > n) {
        //到達葉子結點，分析此解是否最優
        return;
    }

    for(int k=low; k<high; k++) {
        if(fx()) {//滿足約束條件
            a += nums[i];
            backTrack(i+1);
            a -= nums[i];//在回溯前進行狀態的清零
        }
    }
}

　　有許多經典的問題都可以用回溯法來解決，比如8皇后問題、01揹包問題等。
　　迴歸這道題目，下面給出這道題回溯解法。

public class Solution {
    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        List<List<Integer>> arrAll = new ArrayList<List<Integer>>();
        backTrack(0, nums, arrAll);
        return arrAll;
    }

    private void backTrack(int i, int[] nums, List<List<Integer>> arrAll) {
        if(i>=nums.length) {
            List<Integer> arr = new ArrayList<Integer>();
            for (int a : nums) {
                arr.add(a);
            }
            arrAll.add(arr);
            return;
        }

        for(int k=i; k<nums.length; k++) {
            exch(nums, i, k);
            backTrack(i+1, nums, arrAll);
            exch(nums, i, k);
        }
    }

    private void exch(int[] nums, int i, int k) {
        int temp = nums[i];
        nums[i] = nums[k];
        nums[k] = temp;
    }
}

2.2 next法

　　用現成的next法
　

2.3 dfs法

【Reference】
46 Permutations三種不同的解法 https://leetcode.com/discuss/20474/share-my-three-different-solutions