group 求階（BSGS 歐拉定理）

group

10.20

30%
直接暴力算數列，直到遇到一個出現過的數，這樣後出現的數前面一定都出現過了，所以直接看當前出現的數有多少個不同即可。
複雜度： O(T mod)
100%
因爲gcd(a, mod) = 1，所以本質上那個數列是一個”環”，即是某一段數一直重複。
因爲a^(phi(n)) = 1(mod n)，所以該最小循環節一定是phi(n)的約數（我們證明過的）。
所以我們可以直接枚舉所有phi(n)的約數，然後暴力check是否有a^d=1(mod)。
複雜度：O(T sqrt(mod) log(m))

本人的BSGS解法，ans = BSGS(a, inv[a], mod) + 1。（inv是逆元）。

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;

const LL S = 100007;

struct Hash_{
    LL head[S], dest[S][2], last[S], etot;
    void init(){
        memset(head, 0, sizeof(head));
        etot = 0;
    }
    void add(LL a, LL b){
        LL key = a % S;
        for(LL t=head[key]; t; t=last[t])
            if(dest[t][0] == a) return;
        etot++;
        last[etot] = head[key];
        dest[etot][0] = a;
        dest[etot][1] = b;
        head[key] = etot;
    }
    LL find(LL a){
        LL key = a % S;
        for(LL t=head[key]; t; t=last[t])
            if(dest[t][0] == a) return dest[t][1];
        return -1;
    }
}hs;

void exgcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y) {
    if(b == 0){
        d = a; x = 1; y = 0;
    } 
    else{
        exgcd(b, a%b, d, y, x);
        y -= a / b * x;
    }
}

LL inverse(LL a, LL m){
    LL x, y, d;
    exgcd(a, m, d, x, y);
    return (x % m + m) % m;
}

LL BSGS(LL a, LL b, LL m){//a^x = b(mod m)
    hs.init();
    LL sz = (LL)ceil( sqrt(b) + 1 );
    LL cur = 1;
    for(register LL i=0; i<sz; i++,cur=(1LL*cur*a)%m){
        if(cur == b) return i;
        hs.add(cur, i);
    }
    LL base = inverse(cur, m);
    cur = 1LL * base * b % m;
    for(register LL i=sz; i<=m-1; i+=sz,cur=(1LL*cur*base)%m) {
        LL j = hs.find(cur);
        if(j != -1 && (i+j)) return i + j;
    }
    return -1;
}

int main(){
    freopen("group.in", "r", stdin);
    freopen("group.out", "w", stdout);
    LL T, a, p;
    scanf("%I64d", &T);
    while( T-- ){
       scanf("%I64d%I64d", &a, &p);
       LL ans = BSGS(a, inverse(a, p), p);
       if(p == 1) ans = 0;//容易忽略的特判 
       printf("%I64d\n", ans+1);
    }
    return 0;
}