牛客——[SDOI2013]隨機數生成器（推公式+BSGS）

鏈接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/20362
來源：牛客網
 

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64bit IO Format: %lld

題目描述

小W喜歡讀書，尤其喜歡讀《約翰克里斯朵夫》。最近小W準備讀一本新書，這本書一共有P頁，頁碼範圍爲0⋯P−1。

小W很忙，所以每天只能讀一頁書。爲了使事情有趣一些，他打算使用NOI2012上學習的線性同餘法生成一個序列，來決定每天具體讀哪一頁。

我們用Xi來表示通過這種方法生成出來的第i個數，也即小W第i天會讀哪一頁。這個方法需要設置3個參數a,b,X1，滿足0≤a,b,X1≤p−1，且a,b,X1都是整數。按照下面的公式生成出來一系列的整數：Xi+1≡aXi+b(mod p)其中mod表示取餘操作。

但是這種方法可能導致某兩天讀的頁碼一樣。

小W要讀這本書的第t頁，所以他想知道最早在哪一天能讀到第t頁，或者指出他永遠不會讀到第t頁。

輸入描述:

輸入含有多組數據，第一行一個正整數T，表示這個測試點內的數據組數。    

接下來T行，每行有五個整數p，a，b，X1，t，表示一組數據。保證X1和t都是合法的頁碼。 

注意：P一定爲質數

輸出描述:

共T行，每行一個整數表示他最早讀到第t頁是哪一天。如果他永遠不會讀到第t頁，輸出-1。

示例1

輸入

複製

3 
7  1 1 3 3
7  2 2 2 0
7  2 2 2 1

輸出

複製

1
3
-1

題意：就是題目中給的那個式子能不能推出t來，如果能輸出需要推導幾次，不能輸出-1

題解：

上代碼：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <tr1/unordered_map>
using namespace std::tr1;
using namespace std;
typedef long long ll;
ll quick(ll a, ll b,ll c){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=(ans*a)%c;
        b>>=1;
        a=(a*a)%c;
    }
    return ans%c;
}
void exgcd(int a,int &x,int b,int &y){//ax+by=1
    if(!b){
        x=1;y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,y,a%b,x);
    y-=a/b*x;
}
int inverse(int x,int y){//x^(-1)(mod y) <=> x*x^(-1)+y*k=1
    int inv_x,k;
    exgcd(x,inv_x,y,k);
    return (inv_x%y+y)%y;
}
int BSGS(int a,int b,int c){//a^x=b(mod c)
    //特判答案<=100的情況
    for(int x=0,pow_a_x=1%c;x<=100;++x){
        if(pow_a_x==b)return x;
        pow_a_x=(long long)pow_a_x*a%c;
    }
    //通過預處理使得a,c互質
    int base_count=0,D=1;
    while(1){
        int d=__gcd(a,c);
        if(d==1)break;
        if(b%d)return -1;
        b/=d;c/=d;
        D=(long long)D*(a/d)%c;
        ++base_count;
    }
    b=(long long)b*inverse(D,c)%c;
    //解a^(x-base_count)=b(mod c)
    int n=sqrt(c);
    unordered_map<int,int>hash_table;
    int pow_a_j=1;
    for (int j = 1; j <= n;++j){
        pow_a_j=(long long)pow_a_j*a%c;
        hash_table[(long long)pow_a_j*b%c]=j;
    }
    int pow_a_n=pow_a_j,pow_a_in=1,max_i=(c+n-1)/n;
    for (int i = 1; i <= max_i;++i){
        pow_a_in=(long long)pow_a_in*pow_a_n%c;
        if(hash_table.count(pow_a_in)) return i*n-hash_table[pow_a_in]+base_count;
    }
    return -1;
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int p,a,b,x1,t;
        scanf("%d%d%d%d%d",&p,&a,&b,&x1,&t);
        if(x1==t){
            puts("1");
            continue;
        }
        if(a==0){
            if(b==t) puts("2");
            else puts("-1");
        }
        else if(a==1){
            t=(t-x1+p)%p;
            if(t%__gcd(b,p)) puts("-1");
            else printf("%d\n",(t*quick(b,p-2,p))%p+1);
        }
        else{
            int cao=((t+b*quick(a-1,p-2,p))%p*quick((x1+b*quick(a-1,p-2,p))%p,p-2,p))%p;
            int w=BSGS(a,cao,p)%p;
            if(w==-1) puts("-1");
            else printf("%d\n",w+1);
        }
    }
    return 0;
}