hdoj 3507 Print Article

　　我的第一道斜率優化dp。

　　首先，O(n^2)複雜度的dp是很容易想到的。現在我們需要用斜率優化把每次轉移的複雜度優化到O(1)。考慮從dp(a)和dp(b)轉移到dp(i)，若從dp(a)轉移要優，則有dp(a)+(sum(i)-sum(a))^2+M<dp(b)+(sum(i)-sum(b))^2+M，移項得到(dp(a)+sum(a)^2-dp(b)-sum(b)^2)/(2*(sum(a)-sum(b)))<sum(i)。設Y(x)=dp(x)+sum(x)^2，X(x)=2*sum(x)，代入後得到(Y(a)-Y(b))/(X(a)-X(b))<sum(i)，這不就是斜率嗎！

　　於是可以得到這樣的關係：(Y(a)-Y(b))/(X(a)-X(b))<sum(i) <=> 由a轉移較優；(Y(a)-Y(b))/(X(a)-X(b))>sum(i) <=> 由b轉移較優。假設有從左到右的a，b，c三個點，如果ab的斜率大於bc的斜率，那麼dp(i)一定不會由b轉移得到。用一個單調隊列去維護遞增的斜率（就像凸包一樣），就可以迅速完成狀態轉移。

　　當狀態轉移的優劣可以用一個形如“斜率”的式子比較的時候，就可以考慮斜率優化了！另外要注意，能不用除法和浮點數的時候，就不要去用。

#include <iostream>    
#include <stdio.h>    
#include <cmath>    
#include <algorithm>    
#include <string>  
#include <string.h>    
#include <memory.h>    
#include <vector>    
#include <queue>    
#include <stack>
#include <set>

using namespace std;

#define ll long long 

int n,m;

ll c[500010];
ll sum[500010];
ll dp[500010]; 

const ll INF = 1e18;

inline ll getY(int id){
    return sum[id]*sum[id] + dp[id];
}

inline ll getX(int id){
    return 2*sum[id];
}

int que[500010];

int main(){
    while(cin>>n>>m){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%I64d",&c[i]);
            sum[i] = sum[i-1] + c[i];
        }
        
        int head = 0;
        int tail = 0;
        
        que[tail++] = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            while(head+1<tail && (getY(que[head+1])-getY(que[head])) <= sum[i] * (getX(que[head+1])-getX(que[head])) ){
                head++;
            }
            
            int j = que[head];
            dp[i] = (sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+m+dp[j];
        
            while(head+1<tail && (getY(que[tail-1])-getY(que[tail-2])) * (getX(i)-getX(que[tail-1])) >= 
                    (getY(i)-getY(que[tail-1])) * (getX(que[tail-1])-getX(que[tail-2])) ){
                tail--;
            }
            que[tail++] = i;
        }
        
//        for(int i=1;i<=n;i++){
//            dp[i] = INF;
//            for(int j=0;j<i;j++){
//                dp[i] = min(dp[i],(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+m+dp[j]);
//            }
//        }

        cout<<dp[n]<<endl;        
    }
    return 0;
}