在這一篇文章中，首先介紹一下堆的屬性和性質。然後講解一下建堆的過程，最後講解堆排序。
1、堆的介紹
堆的物理存儲結構就是一個一維的數組，其數據結構就是一個完全的二叉樹。需要注意的是堆中的每個結點不需要後繼指針，其父節點和左右孩子結點都可以通過計算得到。假設要計算結點i（i爲數組的下標）的父節點和左右孩子結點，可以使用以下公式計算：
在此計算的都是結點的數組下標，
由於堆的數據結構是一個完全二叉樹，設該完全二叉樹有n個結點。則其內部結點下標分別爲：1,2，。。。
故其葉子結點下標分別爲：
堆高度：就是從根節點到最長葉子結點的距離。包含N個結點的堆高爲：
其次是最大堆和最小堆問題，最大堆就是對任意的父節點的值總是大於或等於孩子節點的值，這樣的話就能保證根節點保存堆中的最大元素。
即：A[parent(i)] >=A[i] （最大堆）
同樣，最小堆就是對任意的父節點的值小於或等於孩子結點的值，這樣就能保證根節點的值最小。
即：A[parent(i)] <=A[i] （最小堆）
一般情況下，最大堆用於堆排序中，最小堆用於優先隊列中。2、建堆
根據堆的性質，我們最終要得到堆的根節點是一個最值，因而，我們需要自底向上進行建堆，若自頂向下建堆的話則不能保證根節點是最值。在此僅討論建立最大堆的情況。
首先我們可以認爲每個葉子結點已經是一個最大堆，然後從最末一個非葉子結點
開始進行對調整，以滿足最大堆的性質。直到到達第一個結點即根節點。在建堆中，主要有二個過程，一個是堆調整，另一個是建堆。在此，首先介紹一下對調整的過程，首先，假如要調整的結點爲i，並且結點i的左右孩子已經都是最大堆。於是，我們首先計算A[i]，A[ left(i) ]，A[ right(i) ]的大小。1）若A[i]最大，則無需調整。2）若A[ left(i) ]最大，則將A[i]與A[ left(i) ]交換，此時最大值成爲了父節點，而A[ i]到了原來的A[ left(i) ]的位置。然後又將A[ i ]與其左右孩子進行比較，直到葉子結點。同樣，若A[right(i)
]最大，其操作同理可得。
void max_heapify(int A[],int i)
{
l=2*i; //l = left(i)
r=2*i+1; //r = right(i)
//heapSize爲堆中實際元素的個數
if(l <= heapSize && A[l] > A[i]) //largest爲i和l中的最大下標值
largest = l;
else largest = i;
if(l <= heapSize && A[r] > A[largest])
largest = r;
if(i != largest){
swap(A[i], A[largest]); //交換 A[i]與 A[largest]
max_heapify(A, largest);
}
}
void build_max_heapify(int A[])
{
for(int i=A.length/2; i>=1; i--)
{
max_heapify(A, i);
}
}
簡單估算一下：我們在調用max_heapify的時間複雜度爲：O(lgn)，調用build_max_heapify的次數爲：O(n)。因而，整個建堆的時間複雜度爲：O(nlgn)。
不過這個時間複雜度不是漸進緊確的，因爲在調用max_heapify時並不是所有的結點高度都爲lgn。實際上大部分結點的高度都很小，更準確的說，高度爲h的結點個數至多有
最後得到構造一個最大堆的時間複雜度爲：O(n)。即在線性時間內，可以把一個無序數組構造成爲一個最大堆。
3、堆排序
排序思想：首先使用build_max_heapify將數組A[1,2,…,n]建成最大堆，然後將A[1]與A[n]的互換，然後再使用max_heapify調整數組A[1,2,…,n-1]成最大堆，然後將A[1]與A[n-1]互換，依次類推，最終得到一個升序的數組A[1,2,…,n]。void heapSort()
{
build_max_heapify(A);
int heapSize = A.length; //heapSize=A.length-size
while(heapSize > 1)
{
swap(A[1], A[heapSize]); //交換 A[1]與 A[heapSize]
heapSize --;
max_heapify(A,1);
}
}
不知道公式怎麼加到文章中，這個暫時做成圖片傳上來了，導致文章的排版比較亂！
