靠山吃山，当然是借助编程了。
我家的孩子上小学三年级，比较喜欢数学，课外在深圳上学而思的创新预备班。去年寒假开始我教他学习C语言编程，每天1个小时左右，说是教，其实大部分时间是他自己看大部头的《C Primer Plus》，也算是半自学。每天在我给他的旧13寸MacBook Pro上用VS Code敲入书上的代码，或者自己改写，然后在Mac的终端下gcc编译，测试，倒也自得其乐。
也许有人会问，为啥小学生学编程，不学简单的Python而学更低层、更难的C语言呢？
原因之一是我自己最擅长C/C++，十八般兵器趁手就好，而且C语言并不难。原因之二是Python学校以后很可能会教，迟点再学也不晚。
言归正传。如今抗疫年代，深圳的小学推迟开学，数学老师每天在微信群布置几道题目，让同学们做好上传。昨天的这道题颇有意思，而且还能编程来验证，我和孩子深入探讨了一番，父子俩乐在其中。
原题目：
长度为60厘米的木头，小明每隔2厘米做一个标记，小琪每隔3厘米做一个标记，然后在标记处锯开，共有多少段木头？
老师认为是植树问题，我们分析后将其看成周期问题，每到6厘米处小明和小琪的标志会重叠，所以6厘米为一个周期。故：
解答：每 2 × 3 = 6厘米 为一个周期，这个周期有4段木头，共有：(60 ÷ 6) × 4 = 40 (段)。
是不是颇为简单？我和孩子又进一步探讨，如果将题目通用化，会怎么样？比如每3cm，每4cm或每5cm，9cm做记号，结果又会是几段？
我们将题目改为通用形式：
长度为M厘米的木头，小明每隔a厘米做一个标记，小琪每隔b厘米做一个标记，然后在标记处锯开，共有多少段木头？
首先还是得找出周期，周期显然是a和b的最大公倍数c，如果a、b没有公约数，则周期直接为a×b。
然后是找出周期内的段数，显然是：u = (c÷a) + (c÷b) - 1, 之所以减1，是因为在周期的最后a、b的标志重叠了。
总段数：x = (M ÷ c) ∙ u
还需考虑M不能整除c的情况，此时要加上余下的部分段数。
算法找到了，我们就来编程实现吧，结对编程，爸爸敲入代码，儿子在旁边看，理解代码并指出某些小错误。
第一步，先实现一个功能函数来可视化标记、并循环统计有多少段。当你用数学方法算出来后，可以用这个函数来验证。
这个函数相当于你自己用原始方法在纸上画线并做标记，然后数有几段，只是计算机不知疲倦，也不会出错。
// 实际验证: 打印并标志出线段
int Verification(int M, int a, int b)
{
int count = 0;
bool a_flag = false; // 是否该标志a了
bool b_flag = false; // 是否该标志b了
for (int i = 1; i <= M; i++) {
printf("-"); // 打印一短横线，表示一个单位长度
a_flag = false;
b_flag = false;
if (i%a == 0) { // a长度到了，需要给a标志
a_flag = true;
}
if (i%b == 0) { // b长度到了，需要给b标志
b_flag = true;
}
if (a_flag && b_flag) { // a、b标志重叠
printf("Y"); // 打印一个 Y
count++;
}
else if (a_flag) { // 仅仅a标志
printf("|"); // 打印一个竖线：｜
count++;
}
else if (b_flag) { // 仅仅b标志
printf("v"); // 打印一个：v
count++;
}
}
if (!a_flag && !b_flag) { // 如果最后不是标志为a或b，意味着还有剩余，线段数加1
count++;
}
printf("\n\nline-segments count: %d\n", count); // 打印出实际测量出的线段数
return(count);
}
输出短横线-表示单位长度，竖线|为a的标志，v是b的标志，Y是a、b重叠处的标志。
假设M=60，a=2，b=3，这个函数可以输出这样的效果：
--|-v-|--Y--|-v-|--Y--|-v-|--Y--|-v-|--Y--|-v-|--Y--|-v-|--Y--|-v-|--Y--|-v-|--Y--|-v-|--Y--|-v-|--Y
line-segments count: 40
很是直观。
第二步，实现一个求最小公倍数的函数
2和3的最小公倍数是两者相乘等于6，但如果4和6，则最小公倍数不是24而是12，在数学上计算最小公倍数需要分解素数，太复杂了。本算法简化之，采用蛮力运算。
// 计算最小公倍数
int LowestCommonMultiple(int a, int b)
{
int m = a>b ? a : b; // 取a b中的最大者为搜索起点
int n = a * b; // 两数相乘为最大的公倍数
for (int i = m; i <= n; i++) {
// 找到第一个可以同时被a或b整除的即为最小公倍数
if (i % a == 0 && i % b == 0) {
return(i);
}
}
return(n);
}
第三步，实现主函数，将数学算法实现并验证之
代码会说话，请看代码：
int main(int argc, char* argv[])
{
if (argc < 4) {
printf("Usage: %s M a b\n", argv[0]);
return 0;
}
int M = atoi(argv[1]);
int a = atoi(argv[2]);
int b = atoi(argv[3]);
if (a == 0 || b == 0 || M == 0) {
printf("M a b must > 0\n");
return 0;
}
// 数学算法开始：
int x = 0; // seegments number，存放最终结果的变量
if (a % b == 0 | b % a == 0) { // 如果a是b的倍数，则取其小者简单计算即可
int m = a > b ? b : a;
x = M / m;
if (M % m)
x++;
} else {
// 计算周期长度，等于a b最小公倍数
// 一开始使用a b相乘，不对。比如a=6, b=4, ab=24，实际的最小公倍数为12
// int cycle = a * b;
// 后来专门写了个函数来计算最小公倍数：
int cycle = LowestCommonMultiple(a, b);
printf("cycle = %d\n", cycle);
// 计算周期内的段数，减1是因为在一个周期结束时两者重叠，需去掉1个:
int unit = cycle / a + cycle / b - 1;
printf("unit = %d\n", unit);
x = (M / cycle) * unit;
// 计算余下部分的长度：
int y = M % cycle; //如果不能整除，y为余数
if (y > 0) {
int z = y / a + y / b;
if (y % a && y % b) { // 两者皆不能整除，则加一
z++;
}
x += z;
}
}
printf("M=%d, a=%d, b=%d, Segments Number: %d\n\n", M, a, b, x);
// 验证：
// verification for draw line
Verification(M, a, b);
return 0;
}
最后一步，编译，测试输出结果：
编译：gcc linesegment.cpp -o linesegment
测试1：
./linesegment 60 2 3
cycle = 6
unit = 4
M=60, a=2, b=3, Segments Number: 40
--|-v-|--Y--|-v-|--Y--|-v-|--Y--|-v-|--Y--|-v-|--Y--|-v-|--Y--|-v-|--Y--|-v-|--Y--|-v-|--Y--|-v-|--Y
line-segments count: 40
测试2:
./linesegment 60 4 6
cycle = 12
unit = 4
M=60, a=4, b=6, Segments Number: 20
----|--v--|----Y----|--v--|----Y----|--v--|----Y----|--v--|----Y----|--v--|----Y
line-segments count: 20
测试3：考虑除不尽的情况
./linesegment 65 3 7
cycle = 21
unit = 9
M=65, a=3, b=7, Segments Number: 28
---|---|-v--|---|--v-|---|---Y---|---|-v--|---|--v-|---|---Y---|---|-v--|---|--v-|---|---Y--
line-segments count: 28
不必羡慕生子当如孙仲谋，王健林的儿子会做2亿元的大买卖；咱们老鼠的儿子会打洞，程序员的儿子会写代码也不错。再说了，以后他当个科学家了，也得会编程验证自己的科学结果不是？
