快速幂取模
用法:用于求解 a 的 b 次方,而b是一个非常大的数,用O(n)的复杂度会超时。那么就需要这个算法,注意它不但可以对数求次幂,而且可用于矩阵快速幂。
假如求 x ^ n 次方
我们可以把 n 表示为 2^k1 + 2^k2 + 2^k3....,可以证明所有数都可以用前式来表示。(其实就是二进制表示数的原理,k1,k2……就是二进制的每一位)
那么 x^n = x^2^k1 * x^2^k2 * x^2^k3......
那么就可以利用二进制来加快计算速度了。
假如 x^22 , 22转化为二进制为 10110, 即 x^22 = x^16 * x^4 * x^2;
那么是不是可以在O(logn)的复杂度求解。
代码:
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typedef long long LL;
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LL fun(LL x,LL n,)
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{
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LL res=1;
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while(n>0)
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{
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if(n & 1)
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res=(res*x)%Max;
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x=(x*x)%Max;
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n >>= 1;
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}
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return res;
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}
那么假如让你求一个矩阵的很大的次方幂呢,当然我们同样可以求解。
比如我们都知道斐波那契数列可以用矩阵来求
当求第非常大的一个斐波那契数的后几位时我们可以用上面方法求解了。
方法和上面的方法一模一样,只是把数 x 变成了一个矩阵。
注意代码中矩阵的存法,很好用,题目链接:http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=148
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#include <cstdio>
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#include <iostream>
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#include <vector>
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using namespace std;
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typedef vector<int> vec;
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typedef vector<vec> mat;
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typedef long long LL;
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const int N = 10000;
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mat mul(mat a,mat b)
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{
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mat c(a.size(),vec(b[0].size()));
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for(int i=0;i<a.size();i++)
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{
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for(int k=0;k<b.size();k++)
-
{
-
for(int j=0;j<b[0].size();j++)
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c[i][j] = ( c[i][j] + a[i][k] * b[k][j] ) % N;
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}
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}
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return c;
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}
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mat solve_pow(mat a,int n)
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{
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mat b(a.size(),vec(a.size()));
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for(int i=0;i<a.size();i++)
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b[i][i]=1;
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while(n>0)
-
{
-
if(n & 1)
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b=mul(b,a);
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a=mul(a,a);
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n >>= 1;
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}
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return b;
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}
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LL n;
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void solve()
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{
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mat a(2,vec(2));
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while(~scanf("%d",&n) && n!=-1)
-
{
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a[0][0]=1,a[0][1]=1;
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a[1][0]=1,a[1][1]=0;
-
a=solve_pow(a,n);
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printf("%d\n",a[1][0]);
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}
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}
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int main()
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{
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solve();
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return 0;
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}
原文:http://blog.csdn.net/y990041769/article/details/22311889