之前用對偶定理解決了個網絡流,這次又碰到了個半平面交...可惜漏了個約束條件,對偶後的變量少了一個
首先把至少要跑的d先跑完,得到新的L和W
設每個人跑的長度是xi,同時令xn=L-sigma(xi)
我們的目標min(sigma(ti*xi)+tn*(L-sigma(xi)))
變形得(-max(sigma((tn-ti)*xi)))+tn*L
常數不去管它,只考慮max的式子
再來考慮約束條件
1、L-sigma(xi)>=0 ===> sigma(xi)<=L (一開始漏了這個,就變成了一維問題...)
2、sigma(si*xi)+sn*(L-sigma(xi))<=W ===> sigma((si-sn)*xi)<=W-sn*L
寫成矩陣形式
max (tn-t1,....ti-tn)*(x1,...xi...)'
約束條件
1、 (1,1,1...)*(x1....xi...)'<=L
2、 (s1-sn...si-sn...)*(x1...xi...)'<=W-sn*L (不方便寫成一個矩陣,只好分開寫)
對偶後
min (y1,y2)*(L,W-sn*L)'
約束條件
(y1,y2)*(1,1,1....)
(s1-sn,...si-sn...) >=(tn-t1...tn-ti...) (這裏必須合到一起了==)
我們把約束條件從矩陣中取出來,變成了n-1個不等式
y1+y2*(si-sn)>=tn-ti
我們發現這就是一個半平面,因此求個半平面交就得到了可行解的區間,然後在各個端點取極值就好了
一開始我漏了一個條件,就變成了一維的了...
然後判無解可以在對偶之前判...
值得一提的是,這個在poj上過不了,poj上時限卡成1s了...
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define sqr(x) ((x)*(x))
const double oo=1e50,eps=1e-8,pi=acos(-1.0);
using namespace std;
struct point{
double x,y,z,_,d;
}p[200000];
int s[200000],t[200000];
int n,d,L,W,T,u[200000],st[200000];
double WW,LL,tot,Min;
inline double cr(point e,point r) {return e.x*r.y-e.y*r.x;}
inline double dot(point e,point r) {return e.x*r.x+e.y*r.y+e.z*r.z;}
inline void cross(point p,point q,point &e)
{
e.x=p.y*q.z-p.z*q.y;
e.y=p.z*q.x-p.x*q.z;
e.z=p.x*q.y-p.y*q.x;
}
inline void ori(point &a)
{
a._=atan2(a.y,a.x);
a.d=a.z/sqrt(sqr(a.x)+sqr(a.y));
}
inline bool cmp(int i,int j)
{
double tmp=p[i]._-p[j]._;
if (fabs(tmp)>pi/2) return tmp<-eps;
tmp=cr(p[i],p[j]);
if (fabs(tmp)>eps) return tmp>eps;
return p[i].d<p[j].d;
}
inline bool check(point L,point T,point I)
{
point p;
cross(L,T,p);
if (dot(p,I)>-eps) return 1;
return 0;
}
double doit()
{
int tot=0;
++tot,p[tot].x=1,p[tot].y=0,p[tot].z=0;
++tot,p[tot].x=0,p[tot].y=1,p[tot].z=0;
++tot,p[tot].x=-1,p[tot].y=0,p[tot].z=oo;
++tot,p[tot].x=0,p[tot].y=-1,p[tot].z=oo;
for (int i=1;i<=n-1;i++) {
++tot;
p[tot].x=s[i]-s[n];
p[tot].y=1;
p[tot].z=t[i]-t[n];
}
for (int i=1;i<=tot;i++) ori(p[i]),u[i]=i;
sort(u+1,u+tot+1,cmp);
int h,r;
st[h=r=1]=u[1];
for (int i=2;i<=tot;i++) {
if (fabs(cr(p[u[i]],p[u[i-1]]))<eps) continue;
for (;(h<r) && (!check(p[st[r-1]],p[st[r]],p[u[i]]));r--) ;
for (;(h<r) && (!check(p[st[h]],p[st[h+1]],p[u[i]]));h++) ;
st[++r]=u[i];
}
for (;(h<r) && (!check(p[st[r-1]],p[st[r]],p[st[h]]));r--) ;
// for (;(h<r) && (!check(p[st[h]],p[st[h+1]],p[st[r]]));h++) ;
st[r+1]=st[h];
double ans=oo;
for (int i=h;i<=r;i++) {
point e;
if ((st[i]==3) || (st[i]==4) || (st[i+1]==3) || (st[i+1]==4)) continue;
cross(p[st[i]],p[st[i+1]],e);
e.x/=e.z,e.y/=e.z,e.z=1;
double sum=(WW-s[n]*LL)*e.x+e.y*LL;
ans=min(ans,sum);
}
return -ans;
}
int main()
{
scanf("%d",&T);
for (;T;T--) {
scanf("%d%d%d%d",&n,&d,&L,&W);
LL=L-d*n,WW=W;
tot=0,Min=oo;
for (int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d%d",&s[i],&t[i]);
WW-=s[i]*d;
tot+=d*t[i];
Min=min(Min,(double)s[i]);
}
if (WW<0 || LL<0) {
printf("No solution\n");
continue;
}
if (1==n) {
if (L*s[1]>W) printf("No solution\n");
else printf("%.2lf\n",(double)L*t[1]);
continue;
}
if (Min*LL>WW) {
printf("No solution\n");
continue;
}
double ans=doit()+t[n]*LL+tot;
if (ans<-eps) {
printf("No solution\n");
continue;
}
// cout<<low<<' '<<lim<<' '<<WW-s[n]*LL<<endl;
printf("%.2lf\n",fabs(ans));
}
return 0;
}