線段樹

一：線段樹基本概念

1：概述

線段樹，類似區間樹，是一個完全二叉樹，它在各個節點保存一條線段（數組中的一段子數組），主要用於高效解決連續區間的動態查詢問題，由於二叉結構的特性，它基本能保持每個操作的複雜度爲O(lgN)!

性質：父親的區間是[a,b],(c=(a+b)/2)左兒子的區間是[a,c]，右兒子的區間是[c+1,b]，線段樹需要的空間爲數組大小的四倍

2：基本操作（demo用的是查詢區間最小值）

線段樹的主要操作有：

(1)：線段樹的構造 void build(int node, int begin, int end);

主要思想是遞歸構造，如果當前節點記錄的區間只有一個值，則直接賦值，否則遞歸構造左右子樹，最後回溯的時候給當前節點賦值

#include <iostream>
using namespace std;


const int maxind = 256;
int segTree[maxind * 4 + 10];
int array[maxind]; 
/* 構造函數，得到線段樹 */
void build(int node, int begin, int end)  
{  
    if (begin == end)  
        segTree[node] = array[begin]; /* 只有一個元素,節點記錄該單元素 */
    else  
    {   
          /* 遞歸構造左右子樹 */ 
        build(2*node, begin, (begin+end)/2);  
        build(2*node+1, (begin+end)/2+1, end); 
            /* 回溯時得到當前node節點的線段信息 */  
            if (segTree[2 * node] <= segTree[2 * node + 1])  
                segTree[node] = segTree[2 * node];  
            else  
                segTree[node] = segTree[2 * node + 1];  
    }  
}


int main()
{
    array[0] = 1, array[1] = 2,array[2] = 2, array[3] = 4, array[4] = 1, array[5] = 3;
    build(1, 0, 5);
    for(int i = 1; i<=20; ++i)
    cout<< "seg"<< i << "=" <<segTree[i] <<endl;
    return 0;
}

此build構造成的樹如圖：

(2)：區間查詢int query(int node, int begin, int end, int left, int right);

（其中node爲當前查詢節點，begin,end爲當前節點存儲的區間，left,right爲此次query所要查詢的區間）

主要思想是把所要查詢的區間[a,b]劃分爲線段樹上的節點，然後將這些節點代表的區間合併起來得到所需信息

比如前面一個圖中所示的樹，如果詢問區間是[0,2]，或者詢問的區間是[3,3]，不難直接找到對應的節點回答這一問題。但並不是所有的提問都

這麼容易回答，比如[0,3]，就沒有哪一個節點記錄了這個區間的最小值。當然，解決方法也不難找到：把[0,2]和[3,3]兩個區間（它們在整數意

義上是相連的兩個區間）的最小值“合併”起來，也就是求這兩個最小值的最小值，就能求出[0,3]範圍的最小值。同理，對於其他詢問的區間，

也都可以找到若干個相連的區間，合併後可以得到詢問的區間。

int query(int node, int begin, int end, int left, int right)  
{ 
    int p1, p2;  
  
    /*  查詢區間和要求的區間沒有交集  */
    if (left > end || right < begin)  
        return -1;  
  
    /*  if the current interval is included in  */  
    /*  the query interval return segTree[node]  */
    if (begin >= left && end <= right)  
        return segTree[node];  
  
    /*  compute the minimum position in the  */
    /*  left and right part of the interval  */ 
    p1 = query(2 * node, begin, (begin + end) / 2, left, right); 
    p2 = query(2 * node + 1, (begin + end) / 2 + 1, end, left, right);  
  
    /*  return the expect value  */ 
    if (p1 == -1)  
        return p2;  
    if (p2 == -1)  
        return p1;  
    if (p1 <= p2)  
        return  p1;  
    return  p2;    
}

可見，這樣的過程一定選出了儘量少的區間，它們相連後正好涵蓋了整個[left,right]，沒有重複也沒有遺漏。同時，考慮到線段樹上每層

的節點最多會被選取2個，一共選取的節點數也是O(log n)的，因此查詢的時間複雜度也是O(log n)。

線段樹並不適合所有區間查詢情況，它的使用條件是“相鄰的區間的信息可以被合併成兩個區間的並區間的信息”。即問題是可以被分解

解決的。

(3)：區間或節點的更新及線段樹的動態維護update （這是線段樹核心價值所在，節點中的標記域可以解決N多種問題）

動態維護需要用到標記域，延遲標記等。

a:單節點更新

void Updata(int node, int begin, int end, int ind, int add)/*單節點更新*/  
{  
  
    if( begin == end )  
    {  
        segTree[node] += add;  
        return ;  
    }  
    int m = ( left + right ) >> 1;  
    if(ind <= m)  
        Updata(node * 2,left, m, ind, add);  
    else  
        Updata(node * 2 + 1, m + 1, right, ind, add);  
    /*回溯更新父節點*/  
    segTree[node] = min(segTree[node * 2], segTree[node * 2 + 1]);   
       
}

b：區間更新（線段樹中最有用的）

需要用到延遲標記，每個結點新增加一個標記，記錄這個結點是否被進行了某種修改操作(這種修改操作會影響其子結點)。對於任意區間的修改，我們先按照查詢的方式將其劃分成線段樹中的結點，然後修改這些結點的信息，並給這些結點標上代表這種修改操作的標記。在修改和查詢的時候，如果我們到了一個結點p，並且決定考慮其子結點，那麼我們就要看看結點p有沒有標記，如果有，就要按照標記修改其子結點的信息，並且給子結點都標上相同的標記，同時消掉p的標記。（優點在於，不用將區間內的所有值都暴力更新，大大提高效率，因此區間更新是最優用的操作）

void Change(node *p, int a, int b) /* 當前考察結點爲p，修改區間爲(a,b]*/
 
{
 
  if (a <= p->Left && p->Right <= b)
 
  /* 如果當前結點的區間包含在修改區間內*/
 
  {
 
     ...... /* 修改當前結點的信息，並標上標記*/
 
     return;
 
  }
 
  Push_Down(p); /* 把當前結點的標記向下傳遞*/
 
  int mid = (p->Left + p->Right) / 2; /* 計算左右子結點的分隔點
 
  if (a < mid) Change(p->Lch, a, b); /* 和左孩子有交集，考察左子結點*/
 
  if (b > mid) Change(p->Rch, a, b); /* 和右孩子有交集，考察右子結點*/
 
  Update(p); /* 維護當前結點的信息（因爲其子結點的信息可能有更改）*/
 
}

3:主要應用

(1)：區間最值查詢問題（見模板1）

(2)：連續區間修改或者單節點更新的動態查詢問題（見模板2）

(3)：多維空間的動態查詢（見模板3）

二：典型模板

模板1：

RMQ，查詢區間最值下標---min

#include<iostream>  

using namespace std;  
  
#define MAXN 100  
#define MAXIND 256 //線段樹節點個數  
  
//構建線段樹,目的:得到M數組.  
void build(int node, int b, int e, int M[], int A[])  
{  
    if (b == e)  
        M[node] = b; //只有一個元素,只有一個下標  
    else  
    {   
        build(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A);  
        build(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A);  

	    if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])  
	        M[node] = M[2 * node];  
	    else  
	        M[node] = M[2 * node + 1];  
    }  
}  
  
//找出區間 [i, j] 上的最小值的索引  
int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j)  
{  
    int p1, p2;  
  
    //查詢區間和要求的區間沒有交集  
    if (i > e || j < b)  
        return -1;  

    if (b >= i && e <= j)  
        return M[node];  
 
    p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);  
    p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);  
  
    //return the position where the overall  
    //minimum is  
    if (p1 == -1)  
        return M[node] = p2;  
    if (p2 == -1)  
        return M[node] = p1;  
    if (A[p1] <= A[p2])  
        return M[node] = p1;  
    return M[node] = p2;  
  
}  
  
  
int main()  
{  
    int M[MAXIND]; //下標1起纔有意義,否則不是二叉樹,保存下標編號節點對應區間最小值的下標.  
    memset(M,-1,sizeof(M));  
    int a[]={3,4,5,7,2,1,0,3,4,5};  
    build(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a);  
    cout<<query(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a, 0, 5)<<endl;  
    return 0;  
}

模板2：

連續區間修改或者單節點更新的動態查詢問題（此模板查詢區間和）

#include <cstdio>  
#include <algorithm>  
using namespace std;  
   
#define lson l , m , rt << 1  
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1 
#define root 1 , N , 1 
#define LL long long  
const int maxn = 111111;  
LL add[maxn<<2];  
LL sum[maxn<<2];  
void PushUp(int rt) {  
    sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];  
}  
void PushDown(int rt,int m) {  
    if (add[rt]) {  
        add[rt<<1] += add[rt];  
        add[rt<<1|1] += add[rt];  
        sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));  
        sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);  
        add[rt] = 0;  
    }  
}  
void build(int l,int r,int rt) {  
    add[rt] = 0;  
    if (l == r) {  
        scanf("%lld",&sum[rt]);  
        return ;  
    }  
    int m = (l + r) >> 1;  
    build(lson);  
    build(rson);  
    PushUp(rt);  
}  
void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {  
    if (L <= l && r <= R) {  
        add[rt] += c;  
        sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);  
        return ;  
    }  
    PushDown(rt , r - l + 1);  
    int m = (l + r) >> 1;  
    if (L <= m) update(L , R , c , lson);  
    if (m < R) update(L , R , c , rson);  
    PushUp(rt);  
}  
LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {  
    if (L <= l && r <= R) {  
        return sum[rt];  
    }  
    PushDown(rt , r - l + 1);  
    int m = (l + r) >> 1;  
    LL ret = 0;  
    if (L <= m) ret += query(L , R , lson);  
    if (m < R) ret += query(L , R , rson);  
    return ret;  
}  
int main() {  
    int N , Q;  
    scanf("%d%d",&N,&Q);  
    build(root);  
    while (Q --) {  
        char op[2];  
        int a , b , c;  
        scanf("%s",op);  
        if (op[0] == 'Q') {  
            scanf("%d%d",&a,&b);  
            printf("%lld\n",query(a , b ,root));  
        } else {  
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);  
            update(a , b , c , root);  
        }  
    }  
    return 0;  
}

模板3：

多維空間的動態查詢

三：練習題目

下面是hh線段樹代碼，典型練習哇~

在代碼前先介紹一些我的線段樹風格:

maxn是題目給的最大區間,而節點數要開4倍,確切的來說節點數要開大於maxn的最小2^x的兩倍
lson和rson分辨表示結點的左兒子和右兒子,由於每次傳參數的時候都固定是這幾個變量,所以可以用預定於比較方便的表示
以前的寫法是另外開兩個個數組記錄每個結點所表示的區間,其實這個區間不必保存,一邊算一邊傳下去就行,只需要寫函數的時候多兩個參數,結合lson和rson的預定義可以很方便
PushUP(int rt)是把當前結點的信息更新到父結點
PushDown(int rt)是把當前結點的信息更新給兒子結點
rt表示當前子樹的根(root),也就是當前所在的結點

整理這些題目後我覺得線段樹的題目整體上可以分成以下四個部分:

單點更新:最最基礎的線段樹,只更新葉子節點,然後把信息用PushUP(int r)這個函數更新上來

hdu1166 敵兵佈陣
題意:O(-1)

思路:O(-1)
線段樹功能:update:單點增減 query:區間求和

#include<cstring>
#include<iostream>

#define M 50005
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
/*left,right,root,middle*/

int sum[M<<2];

inline void PushPlus(int rt)
{
	sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
}

void Build(int l, int r, int rt)
{
	if(l == r)
	{
		scanf("%d", &sum[rt]);
		return ;
	}
	int m = ( l + r )>>1;

	Build(lson);
	Build(rson);
	PushPlus(rt);
}

void Updata(int p, int add, int l, int r, int rt)
{

	if( l == r )
	{
		sum[rt] += add;
		return ;
	}
	int m = ( l + r ) >> 1;
	if(p <= m)
		Updata(p, add, lson);
	else
		Updata(p, add, rson);

	PushPlus(rt);
}

int Query(int L,int R,int l,int r,int rt)
{
	if( L <= l && r <= R )
	{
		return sum[rt];
	}
	int m = ( l + r ) >> 1;
	int ans=0;
	if(L<=m )
		ans+=Query(L,R,lson);
	if(R>m)
		ans+=Query(L,R,rson);

	return ans;
}
int main()
{	
	int T, n, a, b;
	scanf("%d",&T);
	for( int i = 1; i <= T; ++i )
	{
		printf("Case %d:\n",i);
		scanf("%d",&n);
		Build(1,n,1);

		char op[10];

		while( scanf("%s",op) &&op[0]!='E' )
		{

			scanf("%d %d", &a, &b);
			if(op[0] == 'Q')
				printf("%d\n",Query(a,b,1,n,1));
			else if(op[0] == 'S')
				Updata(a,-b,1,n,1);
			else
				Updata(a,b,1,n,1);

		}
	}
	return 0;
}

hdu1754 I Hate It
題意:O(-1)
思路:O(-1)
線段樹功能:update:單點替換 query:區間最值

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
const int maxn = 222222;
int MAX[maxn<<2];
void PushUP(int rt) {
	MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]);
}
void build(int l,int r,int rt) {
	if (l == r) {
		scanf("%d",&MAX[rt]);
		return ;
	}
	int m = (l + r) >> 1;
	build(lson);
	build(rson);
	PushUP(rt);
}
void update(int p,int sc,int l,int r,int rt) {
	if (l == r) {
		MAX[rt] = sc;
		return ;
	}
	int m = (l + r) >> 1;
	if (p <= m) update(p , sc , lson);
	else update(p , sc , rson);
	PushUP(rt);
}
int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {
	if (L <= l && r <= R) {
		return MAX[rt];
	}
	int m = (l + r) >> 1;
	int ret = 0;
	if (L <= m) ret = max(ret , query(L , R , lson));
	if (R > m) ret = max(ret , query(L , R , rson));
	return ret;
}
int main() {
	int n , m;
	while (~scanf("%d%d",&n,&m)) {
		build(1 , n , 1);
		while (m --) {
			char op[2];
			int a , b;
			scanf("%s%d%d",op,&a,&b);
			if (op[0] == 'Q') printf("%d\n",query(a , b , 1 , n , 1));
			else update(a , b , 1 , n , 1);
		}
	}
	return 0;
}

hdu1394 Minimum Inversion Number
題意:求Inversion後的最小逆序數
思路:用O(nlogn)複雜度求出最初逆序數後,就可以用O(1)的複雜度分別遞推出其他解
線段樹功能:update:單點增減 query:區間求和

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
const int maxn = 5555;
int sum[maxn<<2];
void PushUP(int rt) {
	sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
}
void build(int l,int r,int rt) {
	sum[rt] = 0;
	if (l == r) return ;
	int m = (l + r) >> 1;
	build(lson);
	build(rson);
}
void update(int p,int l,int r,int rt) {
	if (l == r) {
		sum[rt] ++;
		return ;
	}
	int m = (l + r) >> 1;
	if (p <= m) update(p , lson);
	else update(p , rson);
	PushUP(rt);
}
int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {
	if (L <= l && r <= R) {
		return sum[rt];
	}
	int m = (l + r) >> 1;
	int ret = 0;
	if (L <= m) ret += query(L , R , lson);
	if (R > m) ret += query(L , R , rson);
	return ret;
}
int x[maxn];
int main() {
	int n;
	while (~scanf("%d",&n)) {
		build(0 , n - 1 , 1);
		int sum = 0;
		for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {
			scanf("%d",&x[i]);
			sum += query(x[i] , n - 1 , 0 , n - 1 , 1);
			update(x[i] , 0 , n - 1 , 1);
		}
		int ret = sum;
		for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {
			sum += n - x[i] - x[i] - 1;
			ret = min(ret , sum);
		}
		printf("%d\n",ret);
	}
	return 0;
}

hdu2795 Billboard
題意:h*w的木板,放進一些1*L的物品,求每次放空間能容納且最上邊的位子
思路:每次找到最大值的位子,然後減去L
線段樹功能:query:區間求最大值的位子(直接把update的操作在query裏做了)

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
const int maxn = 222222;
int h , w , n;
int MAX[maxn<<2];
void PushUP(int rt) {
	MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]);
}
void build(int l,int r,int rt) {
	MAX[rt] = w;
	if (l == r) return ;
	int m = (l + r) >> 1;
	build(lson);
	build(rson);
}
int query(int x,int l,int r,int rt) {
	if (l == r) {
		MAX[rt] -= x;
		return l;
	}
	int m = (l + r) >> 1;
	int ret = (MAX[rt<<1] >= x) ? query(x , lson) : query(x , rson);
	PushUP(rt);
	return ret;
}
int main() {
	while (~scanf("%d%d%d",&h,&w,&n)) {
		if (h > n) h = n;
		build(1 , h , 1);
		while (n --) {
			int x;
			scanf("%d",&x);
			if (MAX[1] < x) puts("-1");
			else printf("%d\n",query(x , 1 , h , 1));
		}
	}
	return 0;
}

成段更新(通常這對初學者來說是一道坎),需要用到延遲標記(或者說懶惰標記),簡單來說就是每次更新的時候不要更新到底,用延遲標記使得更新延遲到下次需要更新or詢問到的時候

hdu1698 Just a Hook
題意:O(-1)
思路:O(-1)
線段樹功能:update:成段替換 (由於只query一次總區間,所以可以直接輸出1結點的信息)

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
const int maxn = 111111;
int h , w , n;
int col[maxn<<2];
int sum[maxn<<2];
void PushUp(int rt) {
	sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
}
void PushDown(int rt,int m) {
	if (col[rt]) {
		col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];
		sum[rt<<1] = (m - (m >> 1)) * col[rt];
		sum[rt<<1|1] = (m >> 1) * col[rt];
		col[rt] = 0;
	}
}
void build(int l,int r,int rt) {
	col[rt] = 0;
	sum[rt] = 1;
	if (l == r) return ;
	int m = (l + r) >> 1;
	build(lson);
	build(rson);
	PushUp(rt);
}
void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {
	if (L <= l && r <= R) {
		col[rt] = c;
		sum[rt] = c * (r - l + 1);
		return ;
	}
	PushDown(rt , r - l + 1);
	int m = (l + r) >> 1;
	if (L <= m) update(L , R , c , lson);
	if (R > m) update(L , R , c , rson);
	PushUp(rt);
}
int main() {
	int T , n , m;
	scanf("%d",&T);
	for (int cas = 1 ; cas <= T ; cas ++) {
		scanf("%d%d",&n,&m);
		build(1 , n , 1);
		while (m --) {
			int a , b , c;
			scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
			update(a , b , c , 1 , n , 1);
		}
		printf("Case %d: The total value of the hook is %d.\n",cas , sum[1]);
	}
	return 0;
}

poj3468 A Simple Problem with Integers
題意:O(-1)
思路:O(-1)
線段樹功能:update:成段增減 query:區間求和

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
#define LL long long
const int maxn = 111111;
LL add[maxn<<2];
LL sum[maxn<<2];
void PushUp(int rt) {
	sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
}
void PushDown(int rt,int m) {
	if (add[rt]) {
		add[rt<<1] += add[rt];
		add[rt<<1|1] += add[rt];
		sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));
		sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);
		add[rt] = 0;
	}
}
void build(int l,int r,int rt) {
	add[rt] = 0;
	if (l == r) {
		scanf("%lld",&sum[rt]);
		return ;
	}
	int m = (l + r) >> 1;
	build(lson);
	build(rson);
	PushUp(rt);
}
void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {
	if (L <= l && r <= R) {
		add[rt] += c;
		sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);
		return ;
	}
	PushDown(rt , r - l + 1);
	int m = (l + r) >> 1;
	if (L <= m) update(L , R , c , lson);
	if (m < R) update(L , R , c , rson);
	PushUp(rt);
}
LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {
	if (L <= l && r <= R) {
		return sum[rt];
	}
	PushDown(rt , r - l + 1);
	int m = (l + r) >> 1;
	LL ret = 0;
	if (L <= m) ret += query(L , R , lson);
	if (m < R) ret += query(L , R , rson);
	return ret;
}
int main() {
	int N , Q;
	scanf("%d%d",&N,&Q);
	build(1 , N , 1);
	while (Q --) {
		char op[2];
		int a , b , c;
		scanf("%s",op);
		if (op[0] == 'Q') {
			scanf("%d%d",&a,&b);
			printf("%lld\n",query(a , b , 1 , N , 1));
		} else {
			scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
			update(a , b , c , 1 , N , 1);
		}
	}
	return 0;
}

poj2528 Mayor’s posters
題意:在牆上貼海報,海報可以互相覆蓋,問最後可以看見幾張海報
思路:這題數據範圍很大,直接搞超時+超內存,需要離散化:
離散化簡單的來說就是隻取我們需要的值來用,比如說區間[1000,2000],[1990,2012] 我們用不到[-∞,999][1001,1989][1991,1999][2001,2011][2013,+∞]這些值,所以我只需要1000,1990,2000,2012就夠了,將其分別映射到0,1,2,3,在於複雜度就大大的降下來了
所以離散化要保存所有需要用到的值,排序後,分別映射到1~n,這樣複雜度就會小很多很多
而這題的難點在於每個數字其實表示的是一個單位長度(並非一個點),這樣普通的離散化會造成許多錯誤(包括我以前的代碼,poj這題數據奇弱)
給出下面兩個簡單的例子應該能體現普通離散化的缺陷:
例子一:1-10 1-4 5-10
例子二:1-10 1-4 6-10
普通離散化後都變成了[1,4][1,2][3,4]
線段2覆蓋了[1,2],線段3覆蓋了[3,4],那麼線段1是否被完全覆蓋掉了呢?
例子一是完全被覆蓋掉了,而例子二沒有被覆蓋

爲了解決這種缺陷,我們可以在排序後的數組上加些處理,比如說[1,2,6,10]
如果相鄰數字間距大於1的話,在其中加上任意一個數字,比如加成[1,2,3,6,7,10],然後再做線段樹就好了.
線段樹功能:update:成段替換 query:簡單hash

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
 
const int maxn = 11111;
bool hash[maxn];
int li[maxn] , ri[maxn];
int X[maxn*3];
int col[maxn<<4];
int cnt;
 
void PushDown(int rt) {
	if (col[rt] != -1) {
		col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];
		col[rt] = -1;
	}
}
void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {
	if (L <= l && r <= R) {
		col[rt] = c;
		return ;
	}
	PushDown(rt);
	int m = (l + r) >> 1;
	if (L <= m) update(L , R , c , lson);
	if (m < R) update(L , R , c , rson);
}
void query(int l,int r,int rt) {
	if (col[rt] != -1) {
		if (!hash[col[rt]]) cnt ++;
		hash[ col[rt] ] = true;
		return ;
	}
	if (l == r) return ;
	int m = (l + r) >> 1;
	query(lson);
	query(rson);
}
int Bin(int key,int n,int X[]) {
	int l = 0 , r = n - 1;
	while (l <= r) {
		int m = (l + r) >> 1;
		if (X[m] == key) return m;
		if (X[m] < key) l = m + 1;
		else r = m - 1;
	}
	return -1;
}
int main() {
	int T , n;
	scanf("%d",&T);
	while (T --) {
		scanf("%d",&n);
		int nn = 0;
		for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {
			scanf("%d%d",&li[i] , &ri[i]);
			X[nn++] = li[i];
			X[nn++] = ri[i];
		}
		sort(X , X + nn);
		int m = 1;
		for (int i = 1 ; i < nn; i ++) {
			if (X[i] != X[i-1]) X[m ++] = X[i];
		}
		for (int i = m - 1 ; i > 0 ; i --) {
			if (X[i] != X[i-1] + 1) X[m ++] = X[i-1] + 1;
		}
		sort(X , X + m);
		memset(col , -1 , sizeof(col));
		for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {
			int l = Bin(li[i] , m , X);
			int r = Bin(ri[i] , m , X);
			update(l , r , i , 0 , m , 1);
		}
		cnt = 0;
		memset(hash , false , sizeof(hash));
		query(0 , m , 1);
		printf("%d\n",cnt);
	}
	return 0;
}

poj3225 Help with Intervals
題意:區間操作,交,並,補等
思路:
我們一個一個操作來分析:(用0和1表示是否包含區間,-1表示該區間內既有包含又有不包含)
U:把區間[l,r]覆蓋成1
I:把[-∞,l)(r,∞]覆蓋成0
D:把區間[l,r]覆蓋成0
C:把[-∞,l)(r,∞]覆蓋成0 , 且[l,r]區間0/1互換
S:[l,r]區間0/1互換

成段覆蓋的操作很簡單,比較特殊的就是區間0/1互換這個操作,我們可以稱之爲異或操作
很明顯我們可以知道這個性質:當一個區間被覆蓋後,不管之前有沒有異或標記都沒有意義了
所以當一個節點得到覆蓋標記時把異或標記清空
而當一個節點得到異或標記的時候,先判斷覆蓋標記,如果是0或1,直接改變一下覆蓋標記,不然的話改變異或標記

開區間閉區間只要數字乘以2就可以處理(偶數表示端點,奇數表示兩端點間的區間)
線段樹功能:update:成段替換,區間異或 query:簡單hash

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
 
const int maxn = 131072;
bool hash[maxn+1];
int cover[maxn<<2];
int XOR[maxn<<2];
void FXOR(int rt) {
	if (cover[rt] != -1) cover[rt] ^= 1;
	else XOR[rt] ^= 1;
}
void PushDown(int rt) {
	if (cover[rt] != -1) {
		cover[rt<<1] = cover[rt<<1|1] = cover[rt];
		XOR[rt<<1] = XOR[rt<<1|1] = 0;
		cover[rt] = -1;
	}
	if (XOR[rt]) {
		FXOR(rt<<1);
		FXOR(rt<<1|1);
		XOR[rt] = 0;
	}
}
void update(char op,int L,int R,int l,int r,int rt) {
	if (L <= l && r <= R) {
		if (op == 'U') {
			cover[rt] = 1;
			XOR[rt] = 0;
		} else if (op == 'D') {
			cover[rt] = 0;
			XOR[rt] = 0;
		} else if (op == 'C' || op == 'S') {
			FXOR(rt);
		}
		return ;
	}
	PushDown(rt);
	int m = (l + r) >> 1;
	if (L <= m) update(op , L , R , lson);
	else if (op == 'I' || op == 'C') {
		XOR[rt<<1] = cover[rt<<1] = 0;
	}
	if (m < R) update(op , L , R , rson);
	else if (op == 'I' || op == 'C') {
		XOR[rt<<1|1] = cover[rt<<1|1] = 0;
	}
}
void query(int l,int r,int rt) {
	if (cover[rt] == 1) {
		for (int it = l ; it <= r ; it ++) {
			hash[it] = true;
		}
		return ;
	} else if (cover[rt] == 0) return ;
	if (l == r) return ;
	PushDown(rt);
	int m = (l + r) >> 1;
	query(lson);
	query(rson);
}
int main() {
	cover[1] = XOR[1] = 0;
	char op , l , r;
	int a , b;
	while ( ~scanf("%c %c%d,%d%c\n",&op , &l , &a , &b , &r) ) {
		a <<= 1 , b <<= 1;
		if (l == '(') a ++;
		if (r == ')') b --;
		if (a > b) {
			if (op == 'C' || op == 'I') {
				cover[1] = XOR[1] = 0;
			}
		} else update(op , a , b , 0 , maxn , 1);
	}
	query(0 , maxn , 1);
	bool flag = false;
	int s = -1 , e;
	for (int i = 0 ; i <= maxn ; i ++) {
		if (hash[i]) {
			if (s == -1) s = i;
			e = i;
		} else {
			if (s != -1) {
				if (flag) printf(" ");
				flag = true;
				printf("%c%d,%d%c",s&1?'(':'[' , s>>1 , (e+1)>>1 , e&1?')':']');
				s = -1;
			}
		}
	}
	if (!flag) printf("empty set");
	puts("");
	return 0;
}

練習
poj1436 Horizontally Visible Segments
poj2991 Crane
Another LCIS
Bracket Sequence

區間合併

這類題目會詢問區間中滿足條件的連續最長區間,所以PushUp的時候需要對左右兒子的區間進行合併

poj3667 Hotel
題意:1 a:詢問是不是有連續長度爲a的空房間,有的話住進最左邊
2 a b:將[a,a+b-1]的房間清空
思路:記錄區間中最長的空房間
線段樹操作:update:區間替換 query:詢問滿足條件的最左斷點

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
 
const int maxn = 55555;
int lsum[maxn<<2] , rsum[maxn<<2] , msum[maxn<<2];
int cover[maxn<<2];
 
void PushDown(int rt,int m) {
	if (cover[rt] != -1) {
		cover[rt<<1] = cover[rt<<1|1] = cover[rt];
		msum[rt<<1] = lsum[rt<<1] = rsum[rt<<1] = cover[rt] ? 0 : m - (m >> 1);
		msum[rt<<1|1] = lsum[rt<<1|1] = rsum[rt<<1|1] = cover[rt] ? 0 : (m >> 1);
		cover[rt] = -1;
	}
}
void PushUp(int rt,int m) {
	lsum[rt] = lsum[rt<<1];
	rsum[rt] = rsum[rt<<1|1];
	if (lsum[rt] == m - (m >> 1)) lsum[rt] += lsum[rt<<1|1];
	if (rsum[rt] == (m >> 1)) rsum[rt] += rsum[rt<<1];
	msum[rt] = max(lsum[rt<<1|1] + rsum[rt<<1] , max(msum[rt<<1] , msum[rt<<1|1]));
}
void build(int l,int r,int rt) {
	msum[rt] = lsum[rt] = rsum[rt] = r - l + 1;
	cover[rt] = -1;
	if (l == r) return ;
	int m = (l + r) >> 1;
	build(lson);
	build(rson);
}
void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {
	if (L <= l && r <= R) {
		msum[rt] = lsum[rt] = rsum[rt] = c ? 0 : r - l + 1;
		cover[rt] = c;
		return ;
	}
	PushDown(rt , r - l + 1);
	int m = (l + r) >> 1;
	if (L <= m) update(L , R , c , lson);
	if (m < R) update(L , R , c , rson);
	PushUp(rt , r - l + 1);
}
int query(int w,int l,int r,int rt) {
	if (l == r) return l;
	PushDown(rt , r - l + 1);
	int m = (l + r) >> 1;
	if (msum[rt<<1] >= w) return query(w , lson);
	else if (rsum[rt<<1] + lsum[rt<<1|1] >= w) return m - rsum[rt<<1] + 1;
	return query(w , rson);
}
int main() {
	int n , m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	build(1 , n , 1);
	while (m --) {
		int op , a , b;
		scanf("%d",&op);
		if (op == 1) {
			scanf("%d",&a);
			if (msum[1] < a) puts("0");
			else {
				int p = query(a , 1 , n , 1);
				printf("%d\n",p);
				update(p , p + a - 1 , 1 , 1 , n , 1);
			}
		} else {
			scanf("%d%d",&a,&b);
			update(a , a + b - 1 , 0 , 1 , n , 1);
		}
	}
	return 0;
}

練習
hdu3308 LCIS
hdu3397 Sequence operation
hdu2871 Memory Control
hdu1540 Tunnel Warfare
CF46-D Parking Lot

掃描線

這類題目需要將一些操作排序,然後從左到右用一根掃描線(當然是在我們腦子裏)掃過去
最典型的就是矩形面積並,周長並等題

hdu1542 Atlantis
題意:矩形面積並
思路:浮點數先要離散化;然後把矩形分成兩條邊,上邊和下邊,對橫軸建樹,然後從下到上掃描上去,用cnt表示該區間下邊比上邊多幾個,

sum代表該區間內被覆蓋的線段的長度總和
這裏線段樹的一個結點並非是線段的一個端點,而是該端點和下一個端點間的線段,所以題目中r+1,r-1的地方可以自己好好的琢磨一下

線段樹操作:update:區間增減 query:直接取根節點的值

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
 
const int maxn = 2222;
int cnt[maxn << 2];
double sum[maxn << 2];
double X[maxn];
struct Seg {
	double h , l , r;
	int s;
	Seg(){}
	Seg(double a,double b,double c,int d) : l(a) , r(b) , h(c) , s(d) {}
	bool operator < (const Seg &cmp) const {
		return h < cmp.h;
	}
}ss[maxn];
void PushUp(int rt,int l,int r) {
	if (cnt[rt]) sum[rt] = X[r+1] - X[l];
	else if (l == r) sum[rt] = 0;
	else sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
}
void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {
	if (L <= l && r <= R) {
		cnt[rt] += c;
		PushUp(rt , l , r);
		return ;
	}
	int m = (l + r) >> 1;
	if (L <= m) update(L , R , c , lson);
	if (m < R) update(L , R , c , rson);
	PushUp(rt , l , r);
}
int Bin(double key,int n,double X[]) {
	int l = 0 , r = n - 1;
	while (l <= r) {
		int m = (l + r) >> 1;
		if (X[m] == key) return m;
		if (X[m] < key) l = m + 1;
		else r = m - 1;
	}
	return -1;
}
int main() {
	int n , cas = 1;
	while (~scanf("%d",&n) && n) {
		int m = 0;
		while (n --) {
			double a , b , c , d;
			scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);
			X[m] = a;
			ss[m++] = Seg(a , c , b , 1);
			X[m] = c;
			ss[m++] = Seg(a , c , d , -1);
		}
		sort(X , X + m);
		sort(ss , ss + m);
		int k = 1;
		for (int i = 1 ; i < m ; i ++) {
			if (X[i] != X[i-1]) X[k++] = X[i];
		}
		memset(cnt , 0 , sizeof(cnt));
		memset(sum , 0 , sizeof(sum));
		double ret = 0;
		for (int i = 0 ; i < m - 1 ; i ++) {
			int l = Bin(ss[i].l , k , X);
			int r = Bin(ss[i].r , k , X) - 1;
			if (l <= r) update(l , r , ss[i].s , 0 , k - 1, 1);
			ret += sum[1] * (ss[i+1].h - ss[i].h);
		}
		printf("Test case #%d\nTotal explored area: %.2lf\n\n",cas++ , ret);
	}
	return 0;
}

hdu1828 Picture
題意:矩形周長並
思路:與面積不同的地方是還要記錄豎的邊有幾個(numseg記錄),並且當邊界重合的時候需要合併(用lbd和rbd表示邊界來輔助)
線段樹操作:update:區間增減 query:直接取根節點的值

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
 
const int maxn = 22222;
struct Seg{
	int l , r , h , s;
	Seg() {}
	Seg(int a,int b,int c,int d):l(a) , r(b) , h(c) , s(d) {}
	bool operator < (const Seg &cmp) const {
		if (h == cmp.h) return s > cmp.s;
		return h < cmp.h;
	}
}ss[maxn];
bool lbd[maxn<<2] , rbd[maxn<<2];
int numseg[maxn<<2];
int cnt[maxn<<2];
int len[maxn<<2];
void PushUP(int rt,int l,int r) {
	if (cnt[rt]) {
		lbd[rt] = rbd[rt] = 1;
		len[rt] = r - l + 1;
		numseg[rt] = 2;
	} else if (l == r) {
		len[rt] = numseg[rt] = lbd[rt] = rbd[rt] = 0;
	} else {
		lbd[rt] = lbd[rt<<1];
		rbd[rt] = rbd[rt<<1|1];
		len[rt] = len[rt<<1] + len[rt<<1|1];
		numseg[rt] = numseg[rt<<1] + numseg[rt<<1|1];
		if (lbd[rt<<1|1] && rbd[rt<<1]) numseg[rt] -= 2;//兩條線重合
	}
}
void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {
	if (L <= l && r <= R) {
		cnt[rt] += c;
		PushUP(rt , l , r);
		return ;
	}
	int m = (l + r) >> 1;
	if (L <= m) update(L , R , c , lson);
	if (m < R) update(L , R , c , rson);
	PushUP(rt , l , r);
}
int main() {
	int n;
	while (~scanf("%d",&n)) {
		int m = 0;
		int lbd = 10000, rbd = -10000;
		for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {
			int a , b , c , d;
			scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
			lbd = min(lbd , a);
			rbd = max(rbd , c);
			ss[m++] = Seg(a , c , b , 1);
			ss[m++] = Seg(a , c , d , -1);
		}
		sort(ss , ss + m);
		int ret = 0 , last = 0;
		for (int i = 0 ; i < m ; i ++) {
			if (ss[i].l < ss[i].r) update(ss[i].l , ss[i].r - 1 , ss[i].s , lbd , rbd - 1 , 1);
			ret += numseg[1] * (ss[i+1].h - ss[i].h);
			ret += abs(len[1] - last);
			last = len[1];
		}
		printf("%d\n",ret);
	}
	return 0;
}

練習
hdu3265 Posters
hdu3642 Get The Treasury
poj2482 Stars in Your Window
poj2464 Brownie Points II
hdu3255 Farming
ural1707 Hypnotoad’s Secret
uva11983 Weird Advertisement

多顆線段樹問題

此類題目主用特點是區間不連續，有一定規律間隔，用多棵樹表示不同的偏移區間

hdu 4288 coder

題意：
維護一個有序數列{An}，有三種操作：
1、添加一個元素。
2、刪除一個元素。
3、求數列中下標%5 = 3的值的和。

由於有刪除和添加操作，所以離線離散操作，節點中cnt存儲區間中有幾個數，sum存儲偏移和

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100002;

#define lson l , m , rt << 1  
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1 

__int64 sum[maxn<<2][6];
int cnt[maxn << 2];

char op[maxn][20];
int a[maxn];

int X[maxn];

void PushUp(int rt)
{
    cnt[rt] = cnt[rt<<1] + cnt[rt<<1|1];
    
    int offset = cnt[rt<<1];
    for(int i = 0; i < 5; ++i)
    {
        sum[rt][i] = sum[rt<<1][i];
    }
    for(int i = 0; i < 5; ++i)
    {
        sum[rt][(i + offset) % 5] += sum[rt<<1|1][i];
    }
}

void Build(int l, int r, int rt)  
{  	/*此題Build完全可以用一個memset代替*/
	cnt[rt] = 0;
	for(int i = 0; i < 5; ++i)	sum[rt][i] = 0;
    if( l == r ) return;
	int m = ( l + r )>>1;    
    Build(lson);  
    Build(rson);   
} 

void Updata(int p, int op, int l, int r, int rt)  
{   
    if( l == r )  
    {  
        cnt[rt] = op; 
		sum[rt][1] = op * X[l-1]; 
        return ;  
    }  
    int m = ( l + r ) >> 1;  
    if(p <= m)  
        Updata(p, op, lson);  
    else  
        Updata(p, op, rson);  
  
    PushUp(rt);  
} 

int main()
{
	int n;
    while(scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        int nn = 0;
        for(int i = 0; i < n; ++i)
        {
            scanf("%s", &op[i]);
            
            if(op[i][0] != 's')
            {
                scanf("%d", &a[i]);
                if(op[i][0] == 'a')
                {
                    X[nn++] = a[i];
                }
            }
        }
        
		sort(X,X+nn);/*unique前必須sort*/
        nn = unique(X, X + nn) - X; /*去重並得到總數*/
        
		Build(1, nn, 1);
        
		for(int i = 0; i < n; ++i)
        {
            int pos = upper_bound(X, X+nn, a[i]) - X; /* hash */ 
            if(op[i][0] == 'a')
            {
                Updata(pos, 1, 1, nn, 1);
            }
            else if(op[i][0] == 'd')
            {
                Updata(pos, 0, 1, nn, 1);
            }
            else printf("%I64d\n",sum[1][3]);
        }
    }
    return 0;
}

2：hdu 4267 A simple problem with integers

題目：給出n個數，每次將一段區間內滿足(i-l)%k==0 （r>=i>=l）的數ai增加c, 最後單點查詢。

這種題目更新的區間是零散的，如果可以通過某種方式讓離散的都變得連續，那麼問題就可以用線段樹完美解決。解決方式一般也是固定的，

那就是利用題意維護多顆線段樹。此題虛維護55顆，更新最終確定在一顆上，查詢則將查詢點被包含的樹全部疊加。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<vector>
#include<string>
#include<map>
#define eps 1e-7
#define LL long long
#define N 500005
#define zero(a) fabs(a)<eps
#define lson step<<1
#define rson step<<1|1
#define MOD 1234567891
#define pb(a) push_back(a)
using namespace std;
struct Node{
    int left,right,add[55],sum;
    int mid(){return (left+right)/2;}
}L[4*N];
int a[N],n,b[11][11];
void Bulid(int step ,int l,int r){
    L[step].left=l;
    L[step].right=r;
    L[step].sum=0;
    memset(L[step].add,0,sizeof(L[step].add));
    if(l==r) return ;
    Bulid(lson,l,L[step].mid());
    Bulid(rson,L[step].mid()+1,r);
}
void push_down(int step){
    if(L[step].sum){
        L[lson].sum+=L[step].sum;
        L[rson].sum+=L[step].sum;
        L[step].sum=0;
        for(int i=0;i<55;i++){
                L[lson].add[i]+=L[step].add[i];
                L[rson].add[i]+=L[step].add[i];
                L[step].add[i]=0;
        }
    }
}
void update(int step,int l,int r,int num,int i,int j){
    if(L[step].left==l&&L[step].right==r){
        L[step].sum+=num;
        L[step].add[b[i][j]]+=num;
        return;
    }
    push_down(step);
    if(r<=L[step].mid()) update(lson,l,r,num,i,j);
    else if(l>L[step].mid()) update(rson,l,r,num,i,j);
    else {
        update(lson,l,L[step].mid(),num,i,j);
        update(rson,L[step].mid()+1,r,num,i,j);
    }
}
int query(int step,int pos){
    if(L[step].left==L[step].right){
        int tmp=0;
        for(int i=1;i<=10;i++)  tmp+=L[step].add[b[i][pos%i]];
        return a[L[step].left]+tmp;
    }
    push_down(step);
    if(pos<=L[step].mid()) return query(lson,pos);
    else return query(rson,pos);
}
int main(){
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=10;i++) for(int j=0;j<i;j++) b[i][j]=cnt++;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        Bulid(1,1,n);
        int q,d;
        scanf("%d",&q);
        while(q--){
            int k,l,r,m;
            scanf("%d",&k);
            if(k==2){
                scanf("%d",&m);
                printf("%d\n",query(1,m));
            }
            else{
                scanf("%d%d%d%d",&l,&r,&d,&m);
                update(1,l,r,m,d,l%d);
            }
        }
    }
    return 0;
}

線段樹與其他結合練習(歡迎大家補充):

原文出處：http://blog.csdn.net/metalseed/article/details/8039326

panyyer

發佈了30 篇原創文章 · 獲贊 21 · 訪問量 5萬+

私信關注

數據結構專題——線段樹

一：線段樹基本概念

二：典型模板

三：練習題目

單點更新:最最基礎的線段樹,只更新葉子節點,然後把信息用PushUP(int r)這個函數更新上來

成段更新(通常這對初學者來說是一道坎),需要用到延遲標記(或者說懶惰標記),簡單來說就是每次更新的時候不要更新到底,用延遲標記使得更新延遲到下次需要更新or詢問到的時候

區間合併

掃描線

多顆線段樹問題

【字符串系列】最長公共子序列（LCS）

數據結構專題——線段樹

hiho1234--Fractal（高精度比較問題）

HDU 5878 -- 醜數打表(2016 ACM/ICPC Asia Regional Qingdao Online)

一行代碼求最大公約數（歐幾里得算法）

Mac下配置sublime實現LaTeX

https://yachay.unat.edu.pe/blog/index.php?comment_area=format_blog&comment_component=blog&comment_co

linux以太網驅動總結