[APIO2010] 特別行動隊

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題目描述

　　你有一支由n名預備役士兵組成的部隊，士兵從1到n編號，要將他們拆分成若干特別行動隊調入戰場。出於默契考慮，同一支特別行動隊中隊員的編號應該連續，即爲形如（i，i+1，…，i+k）的序列。
　　編號爲i的士兵的初始戰鬥力爲xi，一支特別運動隊的初始戰鬥力x爲隊內士兵初始戰鬥力之和，即x=（xi）+（xi+1）+…+（xi+k）。
　　通過長期的觀察，你總結出一支特別行動隊的初始戰鬥力x將按如下經驗公式修正爲x’：x’=ax^2+bx+c，其中a，b，c是已知的係數（a<0）。
　　作爲部隊統帥，現在你要爲這支部隊進行編隊，使得所有特別行動隊修正後戰鬥力之和最大。試求出這個最大和。
　　例如，你有4名士兵，x1=2,x2=2,x3=3,x4=4。經驗公式中的參數爲a=-1，b=10，c=-20。此時，最佳方案是將士兵組成3個特別行動隊：第一隊包含士兵1和士兵2，第二隊包含士兵3，第三隊包含士兵4。特別行動隊的初始戰鬥力分別爲4，3，4，修正後的戰鬥力分別爲4，1，4。修正後的戰鬥力和爲9，沒有其它方案能使修正後的戰鬥力和更大。

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輸入格式

輸入由三行組成。第一行包含一個整數n，表示士兵的總數。第二行包含三個整數a，b，c，經驗公式中各項的係數。第三行包含n個用空格分隔的整數x1，x2，…，xn，分別表示編號爲1，2，…，n的士兵的初始戰鬥力。

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輸出格式

輸出一個整數，表示所有特別行動隊修正戰鬥力之和的最大值。

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樣例數據

樣例輸入

4
-1 10 -20
2 2 3 4

樣例輸出

9

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數據範圍

20%的數據中，n<=1000;
50%的數據中，n<=10000;
100%的數據中，1<=n<=1000000,-5<=a<=-1,|b|<=10000000,|c|<=10000000,1<=xi<=100。

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題目分析

被這題坑慘了。
容易寫出動規方程
fi=max　fj+a(sumi−sumj)2+b(sumi−sumj)+c
考慮斜率優化
化簡爲
fi−asum2i−bsumi−c=fj+asum2j−2asumisumj−bsumj
令fj+asum2j−bsumj=y
sumi=k
2asumj=x
因爲k單調遞增且爲正，維護下凸包
當然也可以令2asumi=k sumj=x
但因爲a爲負，所以k單調遞減，維護上凸包

一定要看數據範圍啊，a爲負

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源代碼

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline const LL Get_Int() {
    LL num=0,bj=1;
    char x=getchar();
    while(x<'0'||x>'9') {
        if(x=='-')bj=-1;
        x=getchar();
    }
    while(x>='0'&&x<='9') {
        num=num*10+x-'0';
        x=getchar();
    }
    return num*bj;
}
LL n,f[1000005],Cost[1000005],sum[1000005],Q[1000005],ans=0,Cut=0;
double Slope(int j,int k) {
    return (double)(f[j]-f[k])/(k-j);
}
int main() {
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++)Cost[i]=Get_Int();
    for(int i=1; i<=n; i++)sum[i]=sum[i-1]+Get_Int();
    for(int i=1; i<n; i++)ans+=(sum[i]-sum[i-1])*(n-i);
    ans+=Cost[n];
    int Left=1,Right=1;
    Q[1]=n;
    for(int i=n-1; i>=1; i--) {
        while(Left<Right&&Slope(Q[Left],Q[Left+1])>=sum[i])Left++; //維護隊首（刪除非最優決策）
        int Front=Q[Left];
        f[i]=f[Front]+sum[i]*(Front-i)-Cost[i];
        Cut=max(Cut,f[i]);
        while(Left<Right&&Slope(Q[Right-1],Q[Right])<=Slope(Q[Right],i))Right--; //維護隊尾（維護上凸包性質）
        Q[++Right]=i;
    }
    printf("%lld\n",ans-Cut);
    return 0;
}

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