學習筆記·對於線段樹雙重標記的理解

在開始這個話題之前，先簡略說明一下單個lazy標記的作用與意義（想詳盡瞭解的話自行百度一下，有很多）。

lazy標記

• 作用：降低區間操作的複雜度
• 意義：lazy標記表示已對當前節點進行了相應修改，而暫時沒有對其左右子節點進行修改
• 注意：一旦打了標記就要修改當前節點的值，標記只表明未修改其左右子節點，而非未修改當前節點。

雙重標記

一些題有多種區間修改方式，僅用一個標記並不能很好的維護；不過，有了單個標記的思想，就可以將其拓展到多個標記了。

問題引入

多重標記中最常見的就是雙重標記。每個標記的作用、意義都與單個標記時無異。當兩個標記互不影響時，我們只需要按照單個標記那樣一個個處理就好了，這裏不再贅述。不過，當兩個標記互相之間有影響時，會出現一個問題：兩個標記的修改順序是怎樣的呢？以bzoj1798爲例，假設線段樹中的某個節點有一個區間加標記，還有一個區間乘標記，那麼在修改及下放標記時，應該先加後乘，還是先乘後加呢（顯然，這兩種不同的操作會得到不同的解）？

思考

既然順序不清，不妨就定義一個優先級吧！仍以上題爲例：
定義同時存在兩個標記時表示先乘後加。那麼:

• 對一個無標記的節點打加標記：直接打上加標記，同時更新sum值
• 對一個無標記的節點打乘標記：直接打上乘標記，同時更新sum值
• 對一個已有乘標記的節點打加標記：直接打上加標記，同時更新sum值，由於下放標記時先下放的是乘標記，這樣做是正確的
• 對一個已有加標記的節點打乘標記：問題出現了。如果直接打上乘標記，由於我們先下放的是乘標記，勢必導致加操作和乘操作順序混亂。那怎麼辦呢？其實，只要我們在打乘標記時修正一下加標記就OK了！根據乘法分配律，(原數+a)×b=原數×b+a×b$(原數+a)\times b=原數\times b+a\times b$ ，所以打乘標記b的同時將加標記a乘以b，這樣就保證了標記正確。

總結

當涉及多重標記時，定義出標記的優先級，修改操作時用優先級高（先下放）的修正優先級低（後下放）的來保證標記的正確性。

例題

bzoj1798 [Ahoi2009]Seq 維護序列
luogu3373 【模板】線段樹2
codevs4927 線段樹練習5 題解