[NOIp2017 Day1 T1] 小凱的疑惑math （數論）

題目

描述

小凱手中有兩種面值的金幣，兩種面值均爲正整數且彼此互素。每種金幣小凱都有 無數個。在不找零的情況下，僅憑這兩種金幣，有些物品他是無法準確支付的。現在小凱想知道在無法準確支付的物品中，最貴的價值是多少金幣？注意：輸入數據保證存在小凱無法準確支付的商品。

輸入

輸入數據僅一行，包含兩個正整數 a$a$ 和 b$b$ ，它們之間用一個空格隔開，表示小凱手 中金幣的面值。

輸出

輸出文件僅一行，一個正整數 N$N$ ，表示不找零的情況下，小凱用手中的金幣不能準確支付的最貴的物品的價值。

樣例輸入

3 7

樣例輸出

11

樣例說明

小凱手中有面值爲3和7的金幣無數個，在不找零的前提下無法準確支付價值爲1、 2、4、5、8、11 的物品，其中最貴的物品價值爲 11，比 11 貴的物品都能買到，比如：
12=3×4+7×0$12=3\times 4+7\times 0$
13=3×2+7×1$13=3\times 2+7\times 1$
14=3×0+7×2$14=3\times 0+7\times 2$
15=3×5+7×0$15=3\times 5+7\times 0$

數據範圍與約定

對於 30%的數據： 1≤a,b≤50$1\le a,b\le 50$ 。
對於 60%的數據： 1≤a,b≤104$1\le a,b\le {10}^4$ 。
對於 100%的數據：1≤a,b≤109$1\le a,b\le {10}^9$ 。

解題思路

因爲(a,b)=1$(a,b)=1$ ，所以{a,2a,3a,...,(b−1)a}$\{a,2a,3a,...,(b-1)a\}$ 爲模b$b$ 的完全剩餘系。
設T$T$ 是一個a,b$a,b$ 無法表示的數且T≡ka(mod b)$T\equiv ka(modb)$ ，(1≤k≤b−1)$(1\le k\le b-1)$ .
若T≥ka$T\ge ka$ ，則T$T$ 一定可以表示爲ka+nb$ka+nb$ ，（n≥0）$（n\ge 0）$ ，所以T<ka$T<ka$ ，則此時T$T$ 最大爲ka−b$ka-b$ .
顯然，當k$k$ 最大時T$T$ 最大，所以T=(b−1)a−b=ab−a−b$T=(b-1)a-b=ab-a-b$ .

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL a, b;
int main(){
    scanf("%lld%lld", &a, &b);
    printf("%lld",  a * b - a - b);
    return 0;
}