第六章：變治法
三種類型：
（1）變換爲同樣問題的一個更簡單或者更方便的實例——實例簡化
（2）變換爲同樣實例的不同表現——改變表現
（3）變換爲另一個問題的實例，這種問題的算法是已知的——問題簡化
6.1預排序：
就是利用合併排序/快速排序，時間複雜度爲nlogN的先對要進行計算的數組進行排序
然後將有序數組用來運算
6.2高斯消去法：
初等行變換將原矩陣轉變成上三角矩陣然後自底向上進行求解
第一種：從第一行到倒數第二行循環，對其餘行進行每個元素循環，減去標杆行修改元素和本行修改元素的比例（效率低）
第二種：從第一個元素到倒數第二個元素，遍歷，將對應列的最小的放在最前面，交換行，然後對其餘行和該行按修改元素比例進行做差
6.2.1LU分解：
U爲上三角矩陣（高斯消去法得出）
L爲對角線爲1，其餘爲比例係數的下三角矩陣
Ax=b即爲LUx=b
設Ux = b 則爲 Ly = b
解y->然後解Ux = y
6.2.2計算矩陣的逆：
退化矩陣：矩陣無法計算逆，逆不存在
非退化矩陣：高斯消去法得到的矩陣對角線上面無0元素即爲非退化矩陣
需要計算n2個元素
AB = E
Axj = ej 矩陣A乘以矩陣B的xj列 = 矩陣E的ej列（j∈(1，n））
6.2.3計算矩陣的行列式（計算矩陣的值）
元素下角標之和 奇負偶正
然後乘以代數餘子式
6.3平衡查找樹：
6.3.1AVL樹：
對左右子樹求高度差，高度差的絕對值均小於2的二叉查找樹（左子樹小於根節點，右子樹大於根節點）即爲AVL樹
通過旋轉使得新插入節點導致不平衡的AVL樹重新變得平衡，通過修改距離插入節點最近的節點來使得AVL樹平衡，
時間複雜度logn
6.3.2 2-3樹：
2-3樹即樹可以包含兩種類型的節點：兩個節點和三個節點
兩個節點：一個鍵，兩個子女
三個節點：兩個鍵，三個子女，左小於min，中∈（min，max），右大於max
2-3樹總是高度平衡的，樹種所有的葉子必須在同一層
2-3樹中插入新節點的做法：二節點的找到合適的位置（小於原來的鍵或者大於原來的鍵）插入，三節點的插入後分裂，最小的鍵分到左側葉子，中間的升入父母節點，最大的放在右側葉子
6.4堆和堆排序
堆用二叉樹表示，且滿足兩個特性：
1.完全二叉樹，只有最後一層的右測可以缺
2.父母優勢，父母節點大於所有子女節點
實際用數組表示，第一個空出來
前n/2向下取整是父母節點，後n/2向上取整是子女節點，按照從左到右次序排列
父母節點爲i 子女節點爲2i 2i+1 子女節點爲i 父母節點 i/2向下取整
構造堆兩種方法：
1.自底向上構造堆
先按照給的生成完全二叉樹，然後作交換保證父母優勢，不能則跟子女節點最大的作交換，從最後的父母節點開始，到根，交換後檢查交換過來的小節點是否滿足父母優勢
時間效率O（n）
2.自頂向下構造堆
插入節點方法，然後將新插入的節點和父母節點作比較，直到滿足父母優勢爲止
刪除節點的方法：
將要被刪除的節點和最後一個節點做交換，規模減一，然後自底向上堆化
6.5霍納法則和二進制冪
6.5.1霍納法則
將含x的多次多項式的式子不斷提x進行拆解，直到不存在x的多次式
係數從左到右排序
6.5.2二進制冪
1.從左到右的二進制冪
將次方拆成2進製表示 1從左邊起每位都平方然後0次方不變1次方+1
2.從右到左的二進制冪
將次方拆成二進制表示 每個二進制位對應a的2的二進制位次方，1則存在，0則不存在
6.6問題簡化
6.6.1最小公倍數的問題
1.找出每個的因子相同個數的乘一遍其餘不同的各自乘一遍
2.lcm = mxn/gcd(m,n)去除最大公約數
6.6.2計算圖中的路徑數量
第i個頂點到第j個頂點，長度爲k的路徑的數量 = pow(A,k)對應（i，j）位置的數目
A爲鄰接矩陣
6.6.3優化問題的化簡
最大化問題和最小化問題的互相轉化
max = -min min
6.6.4線性規劃問題
揹包問題的線性規劃解法，給定目標和約束
6.6.5簡化爲圖的問題
同標題