leetcode 1000 合併石頭的最低成本

原題：
有 N 堆石頭排成一排，第 i 堆中有 stones[i] 塊石頭。

每次移動（move）需要將連續的 K 堆石頭合併爲一堆，而這個移動的成本爲這 K 堆石頭的總數。

找出把所有石頭合併成一堆的最低成本。如果不可能，返回 -1 。

示例 1：

輸入：stones = [3,2,4,1], K = 2
輸出：20
解釋：
從 [3, 2, 4, 1] 開始。
合併 [3, 2]，成本爲 5，剩下 [5, 4, 1]。
合併 [4, 1]，成本爲 5，剩下 [5, 5]。
合併 [5, 5]，成本爲 10，剩下 [10]。
總成本 20，這是可能的最小值。

示例 2：

輸入：stones = [3,2,4,1], K = 3
輸出：-1
解釋：任何合併操作後，都會剩下 2 堆，我們無法再進行合併。所以這項任務是不可能完成的。.

示例 3：

輸入：stones = [3,5,1,2,6], K = 3
輸出：25
解釋：
從 [3, 5, 1, 2, 6] 開始。
合併 [5, 1, 2]，成本爲 8，剩下 [3, 8, 6]。
合併 [3, 8, 6]，成本爲 17，剩下 [17]。
總成本 25，這是可能的最小值。

提示：

1 <= stones.length <= 30
2 <= K <= 30
1 <= stones[i] <= 100

代碼：

class Solution {
public:
    int dp[51][51][51];
    int mergeStones(vector<int>& stones, int K) 
    {
        int n = stones.size();
        if ((n - K) % (K - 1))
            return -1;
        vector<int> tmp(stones.size() + 1, 0);
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++)
            tmp[i + 1] = stones[i];
        
        memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
        vector<int> sum(stones.size()+1,0);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            dp[i][i][1] = 0;
            sum[i] = sum[i - 1] + tmp[i];
        }
        for (int len = 2; len <= n; len++)
        {
            for (int i = 1; i <= n - len + 1; i++)
            {
                int j = i + len - 1;
                for (int x = i; x < j; x++)
                {
                    for (int k = 2; k <= len; k++)
                    {
                        dp[i][j][k] = min(dp[i][j][k], dp[i][x][k - 1] + dp[x + 1][j][1]);
                    }
                }
                dp[i][j][1] = min(dp[i][j][1], dp[i][j][K] + sum[j] - sum[i - 1]);
            }
        }
        return dp[1][n][1];
    }
};

思路：

原始的石子合併問題是兩個兩個合併，此題多加了一個條件K，要求一次合併K堆石子。

石子合併問題可以用$dp[i][j]$表示區間i到j這些石子合併後得到的最小決策值，如果是兩個石子合併，那麼在決策狀態中，如果是在第k個位置尋找子區間。那麼
$dp[i][k]+dp[k+1][j]+fun(i,j,k)$表示區間i到j石子兩兩合併所做的決策狀態。

如果是三個石子呢？設置$dp[i][j]$表示區間i到j之間三個石子三個石子合併得到的最優解。
同理可得
$dp[i][k_1]+dp[k_1+1][k_2]+dp[k_2+1][j]+fun(i,j,k_1,k_2)$
這裏需要枚舉$k_1$與$k_2$來尋找最優解

可想而知，如果是K很大的話，基本上沒有辦法做到對狀態劃分的枚舉。

這裏增加維度來表示區間i到j之間的狀態，題目中限定了合併石子個數K爲變量。
那麼很容易想到設定狀態$dp[i][j][k]$來表示一個區間的石子合併後得到的最優值。

如果將上面的狀態解釋爲在區間i到區間j使用連續k個石子合併規則得到的最優值會有一個問題，如何建立狀態轉移呢？即，如何從兩個石子合併的狀態得到三個石子合併的狀態呢？很顯然做不到。

換一種想法考慮
設置$dp[i][j][k]$表示爲將區間i到j的石子合併爲k堆的最小代價
那麼$dp[i][j][k]=min(dp[i][x][k-1]+dp[x+1][j][1])$即k-1堆石子與1堆石子合併得到k堆石子，可以實現遞推操作

合併的方式表現在狀態轉移的過程中，每次將得到的$dp[i][j][K]$合併，得到將K堆石子合併後得到的最優值。