如果有人問我，如果傅里葉變換沒有學好（深入理解概念），是否能學好小波。答案是否定的。如果有人還問我，如果第一代小波變換沒學好，能否學好第二代小波變換。答案依然是否定的。但若你問我，沒學好傅里葉變換，能否操作（編程）小波變換，或是沒學好第一代小波，能否操作二代小波變換，答案是肯定的。
一、一、基的概念
我們要明確的是基的概念。兩者都是基，信號都可以分成無窮多個他們的和（疊加）。而展開係數就是基與信號之間的內積，更通俗的說是投影。展開係數大的，說明信號和基，是足夠相似的。這也就是相似性檢測的思想。但我們必須明確的是，傅里葉是0-2pi標準正交基，而小波是-inf到inf之間的基。因此，小波在實軸上是緊的。而傅里葉的基（正弦或餘弦），與此相反。而小波能不能成爲Reisz基，或標準穩定的正交基，還有其它的限制條件。此外，兩者相似的還有就是PARSEVAL定理。（時頻能量守恆）。
二、二、離散化的處理
傅里葉變換，是一種數學的精妙描述。但計算機實現，卻是一步步把時域和頻域離散化而來的。第一步，時域離散化，我們得到離散時間傅里葉變換（DTFT），頻譜被週期化；第二步，再將頻域離散化，我們得到離散週期傅里葉級數（DFS），時域進一步被週期化。第三步，考慮到週期離散化的時域和頻域，我們只取一個週期研究，也就是衆所周知的離散傅里葉變換（DFT）。這裏說一句，DFT是沒有物理意義的，它只是我們研究的需要。藉此，計算機的處理才成爲可能。
下面我們談談小波。所有滿足容許性條件（從-INF到+INF積分爲零）的函數，都可以成爲小波。小波作爲尺度膨脹和空間移位的一組函數也就誕生了。但連續取值的尺度因子和平移因子，在時域計算量和頻域的混疊來說，都是極爲不便的。用更爲專業的俗語，叫再生核。也就是，對於任何一個尺度a和平移因子b的小波，和原信號內積，所得到的小波係數，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波係數的線性組合。這就叫冗餘性。這時的連續小波是與正交基毫無關係的東西，它頂多也只能作爲一種積分變換或基。但它的顯微鏡特點和相似性檢測能力，已經顯現出來了。爲了進一步更好的將連續小波變換離散化，以下步驟是一種有效方法。第一步，尺度離散化。一般只將a二進離散化，此時b是任意的。這樣小波被稱爲二進小波。第二步，離散b。怎麼離散化呢？b取多少才合適呢？於是，叫小波採樣定理的東西，就這樣誕生了。也就是小波平移的最小距離（採樣間隔），應該大於二倍小波基的最高頻率（好像類似，記不清了）。所以b取尺度的整數倍就行了。也就是越胖的小波，對應頻譜越窄，平移量應該越大，採樣間隔越大。當然，第一二兩步的頻域理解，即在滿足頻域窗口中心是3倍的頻域窗口半徑的前提下，頻域就在統計上是完美二分的。（但很多小波滿足不了這個條件，而且頻域窗口能量不集中，所以只是近似二分的）。這時的小波變換，稱爲離散二進小波變換。第三步，引入穩定性條件。也就是經過變換後信號能量和原信號能量有什麼不等式關係。滿足穩定性條件後，也就是一個小波框架產生成了可能。他是數值穩定性的保證。一個稍弱的穩定條件，就是0<A<=B<+INF，並且小波函數線性無關，此時小波基稱爲Reisz基。並且，如果變換後能量守恆，(A=B=1)，並且線性無關，這就是標準離散正交小波基。這種分解也就是大家熟知的直和分解。若A和B不相等，且相差很大，我們就說小波不是緊框架的，所以雙正交，對偶小波也就自然而然引進來了。若A和B不相等，但又相差不大，這時穩定重構也是可能的，這時成爲幾乎緊框架的。（好像說這樣小波有櫓棒性特點，也就是粗略分解，但卻精確重構。）經過3步，我們最終地得到了一個二進離散化穩定的小波變換，這正是我們要的結果。
三、三、快速算法
如果說現代數字信號處理革命的算法，甚至是很多快速算法的老始祖，或者是滿矩陣向量乘法一個幾乎不可抗拒的最小計算量NlogN，那就是令我不得不佩服的快速傅里葉變換（FFT）。這裏我不想解釋過多的基2算法，和所謂的三重循環，還有那經典的蝶形單元，或是分裂基之類，我想說的就是一種時頻對應關係。也就是算法的來源。我們首先明確，時域的卷積對應頻域的相乘，因此我們爲了實現卷積，可以先做傅里葉變換，接着在頻域相乘，最後再做反傅里葉變換。這裏要注意，實際我們在玩DSP。因此，大家要記住，圓周卷積和離散傅里葉變換，是一家子。快速傅里葉是離散傅里葉的快速算法。因此，我們實現離散線性卷積，先要補零。然後使得它和圓周卷積相等。然後就是快速傅里葉變換，頻域相乘，最後反快速傅里葉變換。當然，如果我們就需要的是圓周卷積，那我們也就不需要多此一舉的補零。這裏，我們可以把圓周卷積，寫成矩陣形式。這點很重要。Y=AX。這裏的A是循環矩陣。但不幸的是A仍然是滿陣。
小波的快速算法。MALLET算法，是一個令人振奮的東西。它實質給了多分辨率分析（多尺度分析）一個變得一發而不可收的理由。它實質上，講了這樣一個意思。也就是。我在一個較高的尺度（細節）上作離散二進穩定的小波變換，得到了一個結果（小波係數），我若是想得到比它尺度低的小波係數（概貌），我不用再計算內積，只是把較高尺度的小波係數和低通或高通濾波器卷積再抽取即可。但是，所有這些證明的推導是在整個實軸上進行的。即把信號看成無限長的。但這仍不是我們想要的。還有，我們還必須在較高尺度上作一次內積，纔可以使用此算法。因此，我們開始簡化，並擴展此理論。第一，我們把信號的採樣，作爲一個較高層的小波係數近似初始值。（這是可以的，因爲小波很瘦時，和取樣函數無異）。第二，我們把原來的卷積，換爲圓周卷積。這和DSP何嘗不一樣呢？他的物理意義，就是把信號作週期延拖（邊界處理的一種），使之在整個實軸上擴展。這種算法令我爲之一貫堅持的是，它是完全正交的，也就是說是正交變換。正變換Y=AX；反變換X=A’Y；一般對於標準正交基，A’是A的共軛轉置，對於雙正交A’是A的對偶矩陣。但不管如何，我們可以大膽的寫，AA’=A’A=I。這裏I是單位矩陣。
那怎樣操作纔是最快的呢？我們來分析A的特點，首先A是正交陣，其次A是有循環矩陣特點，但此時A上半部分是由低通濾波器構成的循環子矩陣，下半部分是由高通濾波器構成的子矩陣，但卻是以因子2爲循環的。爲什麼，因爲你做了2抽取。所以我們可以，實現小波變換用快速傅里葉變換。這時如果A是滿陣的，則複雜度由O(N.^2）下降到O(NlogN)。（這個程序我已經傳在了研學上，在原創區）。但還有一點，我們忘了A是稀疏的，因爲信號是很長的，而濾波器確實很短的，也就是這個矩陣是個近似對角陣。所以，快速傅里葉是不快的，除非你傻到含有零的元素，也作了乘法。因此，小波變換是O(N)複雜度的。這是它的優勢。但要實現，卻不是那麼容易，第一個方法，稀疏矩陣存儲和稀疏矩陣乘法。第二個方法，因子化。因子化，是一個傑出的貢獻。它在原有的O(N)的複雜度基礎上，對於長濾波器，又把複雜度降低一半。但量級仍然是O(N)。
四、四、時頻分析
對於平穩信號，傅里葉再好不過了。它反映的是信號總體的整個時間段的特點。在頻率上，是點頻的。而對於非平穩信號，它就無能爲力了。而小波恰好對此派上用場。小波是反映信號，某個時間段的特點的。在頻域上，是某個頻率段的表現。但小波，作爲頻譜分析確實存在很多問題。但我們確實可以做出很多的小波滿足這個特點。大家可以看冉啓文的《小波變換與分數傅里葉變換》書，這裏我不再贅述。還有，我們老是說小波是近似頻域二分的，這在DSP上是怎樣的，最近我也在思考。
五、壓縮、消噪、特徵提取
傅里葉變換的壓縮，已經廣泛應用了。它的簡化版本就是DCT變換。而小波包的提出，也就使DCT有些相形見拙。首先，它提出代價函數，一般就是熵準則。其次，一個自適應樹分解。再次，基於矩陣範數或較少位編碼的稀疏化策略。這些使小波包的壓縮近乎完美。小波包是從頻域上實現的。從時域上，我們也可採用類似的分裂和並算法，來實現信號最優的表達，這種可變窗小波成爲MALVAR小波。記住，壓縮是小波最大的優勢。
消噪，一般的傅里葉算法，一般可以是IIR濾波和FIR濾波。兩者各有優缺點。而小波的消噪，一般也是由多層分解和閾值策略組成。我們需要的是信號的特點，噪聲的特點，然後確定用不用小波，或用什麼小波。這點上，小波的優勢並不是很明顯。
特徵提取。這是小波的顯微鏡特點很好地運用。利用模極大值和LIPSCHITZ指數，我們可以對信號的突變點做分析。但這裏面的問題也是很多。首先，在不同尺度上，噪聲和信號的模極大值變化不同。再次，一般我們用求內積方法，求模極大值，而不用MALLET算法，或者改用叫多孔算法的東西來做。這點，我沒任何體會，希望大家多討論吧。
這裏，我不能談應用很多的細節。但我們必須明確：1。你要對小波概念有着明確的理解。對諸如多分辨率，時頻窗口與分析，框架，消失矩，模極大值，LIPSCHITZ指數等有着清醒地認識。2。你必須考慮小波在此問題上的可行性，這點尤爲重要，小波不是萬能的。
小波變換及其應用
X
科學技術的迅速發展使人類進入了信息時代。在信息社會中人們在各種領域中都會涉及各種
信號(語音, 音樂, 圖像, 金融數據, ⋯⋯) 的分析、加工、識別、傳輸和存儲等問題。長期以
來, 傅里葉變換一直是處理這方面問題最重要的工具, 並且已經發展了一套內容非常豐富並在許
多實際問題中行之有效的方法。但是, 用傅里葉變換分析處理信號的方法也存在着一定的侷限性
與弱點, 傅里葉變換提供了信號在頻率域上的詳細特徵, 但卻把時間域上的特徵完全丟失了。小
波變換是80 年代後期發展起來的新數學分支, 它是傅里葉變換的發展與擴充, 在一定程度上克服
了傅里葉變換的弱點與侷限性。本文從信號分析與處理的角度來介紹小波變換的基本理論與應用,
使具有微積分基礎的讀者通過本文能對這一新的數學分支有一初步瞭解。小波變換在函數論、微
分方程、數值計算等方面也有着重要的應用, 有興趣的讀者可參看[1 ] [4 ]。
(一) 從傅里葉變換談起
數學中經常用變換這一技巧將問題由繁難化爲簡易, 初等數學中用對數將較繁難的乘除法化
爲簡易的加減法就是很典型的一個例子。而傅里葉變換(簡稱FT) 則是利用積分將一個函數
f ( t) (- ∞ < t < ∞) 變爲另一個函數f
d
(X) (- ∞ < X < ∞) :
FT: f ( t) → f
d
(X) = ∫
∞
- ∞
f ( t) e- iXtd t (1. 1)
當f ( t) 滿足適當條件時, 它有逆變換(FT- 1) :
FT- 1: f
d
(X) → f ( t) =
1
2P∫
∞
- ∞
f
d
(X) eiXtdX (1. 2)
我們常將函數f ( t) 看作信號, 所以在本文中將函數與信號看作同義詞而不加以區別, 且總假
定f ( t) 是平方可積或能量有限的, 即∫
∞
- ∞
ûf ( t) û 2d t < ∞。今後, 我們亦稱f
d
(X) 爲f ( t) 的頻譜。傅裏
葉變換有兩條非常重要的性質: (1) 它將對函數f ( t) 的求導運算轉化爲對其傅里葉變換f
d
(X) 的乘
法運算: FT:
d
d t
f ( t) → iXf
d
(X)。(2) 它將兩個函數f ( t) 與g ( t) 的卷積運算轉化爲乘法運算: FT:
∫
∞
- ∞
f (u) g ( t - u) d u → f
d
(X) g
d
(X)。而很大一類信號分析與處理系統可以利用(或近似地用) 線性常
係數微分算子或卷積算子來描寫其輸入與輸出之間的關係。對這類系統研究輸入輸出信號的頻譜
之間的關係要比直接研究信號本身要簡單方便得多。這就是所謂在頻率域上考慮問題或頻譜分析
的方法。長期以來, 這方面已發展了一套內容非常豐富並在許多實際問題中行之有效的方法。但由
傅里葉變換的定義(111) 可見, f
d
(X) 取決於f ( t) 在實軸(- ∞, ∞) 上的整體性質, 因此它不能反映
出信號在局部時間範圍中的特徵。而在許多實際問題中, 我們所關心的恰是信號在局部時間範圍中
的特徵。例如, 在音樂和語言信號中, 人們關心的是什麼時刻奏什麼音符, 發出什麼樣的音節。對雷
達和地震信號人們關心的是在什麼位置出現什麼樣的反射波, 這正是傅里葉變換或頻譜分析難以
奏效的弱點。
(二) “窗口傅里葉變換”或Gabo r 變換
針對傅里葉變換的這一弱點, 在40 年代法國學者D1Gabo r 提出了“窗口傅里葉變換”的概念。
爲了研究一個函數f ( t) 在一個長度爲2$ 的區間上的性質, 可以先引進一個光滑的函數g ( t) ,
稱爲窗口函數, 它在區間(- $ + D, $ - D) 上恆等於1, 而在區間($ - D, $ + D) 及(- $ - D, $ +
D) 上光滑地由1 變換爲0 (這裏D是一個適當小的正數)。見圖1 (a)。
圖1
用函數g ( t - S) (見圖1 (b) ) 乘f ( t) , 相當於以t = S爲中心開了一個寬度爲2$ 的窗口。(當然,
這樣截下的一段f ( t) g ( t - S) 與f ( t) 在區間(S- $, S+ $) 上的值相比在t = S- $ 及S+ $ 附
近會有一些變形) (見圖2 (a) (b) )。
圖2
稱Gf (X, S) = ∫
∞
- ∞
f ( t) g ( t - S) e- iXtdt (2. 1)
爲函數f ( t) 關於窗口函數g ( t) 的“窗口”傅里葉變換或Gabo r 變換。由上面的定義可見, f ( t) 的
Gabo r 變換Gf (X, S) 反映了信號f ( t) 在t = S附近的頻譜特徵, 而且由於有反演公式:
f ( t) =
1
2P∫
∞
- ∞
dX∫
∞
- ∞
eiXtg ( t - S)Gf (X, S) d S (2. 2)
可見Gf (X, S) (- ∞ < X< ∞, - ∞ < S< ∞) 確實包括了f ( t) 的全部信息。而且Gabo r 變換的
窗口位置隨S而變(平移) , 符合研究信號不同位置局部性質的要求。這是它比傅里葉變換優越之
處, 因此在通信理論中發揮過一定作用。但是, Gabo r 變換窗口的形狀和大小一經選定就保持不變,
與頻率無關。熟知在研究高頻信號的局部性質時窗口應開得小一些, 而在研究低頻信號的局部性質
時窗口應開的大一些(見圖3) , 也就是說窗口大小應隨頻率而變。
窗口大小不隨頻率而變, 這是Gabo r 變換的一個嚴重缺點。
(三) 連續小波變換的定義與基本性質
