向量空間
§1 集合·映射
一、集合
集合是數學中最基本的概念之一，所謂集合就是指作爲整體看的一堆東西.組成集合的東西稱爲這個集合的元素.用
表示 是集合 的元素，讀爲： 屬於 .用
表示 不是集合 的元素，讀爲： 不屬於 .
所謂給出一個集合就是規定這個集合是由哪些元素組成的.因此給出一個集合的方式不外兩種，一種是列舉法：列舉出它全部的元素，一種是描述法：給出這個集合的元素所具有的特徵性質.
設 是具有某些性質的全部元素所成的集合，就可寫成
.
不包含任何元素的集合稱爲空集，記作 .
如果兩個集合 與 含有完全相同的元素，即 當且僅當 ，那麼它們就稱爲相等，記爲 .
如果集合 的元素全是集合 的元素，即由 可以推出 ，那麼 就稱爲 的子集合，記爲 或 .
兩個集合 和 如果同時滿足 和 .，則 和 相等.
設 和 是兩個集合，既屬於 又屬於 的全體元素所成的集合稱爲 與 的交，記爲 .
屬於集合 或者屬於集合 的全體元素所成的集合稱爲 與 的並，記爲 .
二、映射
設 和 是兩個集合，所謂集合 到集合 的一個映射就是指一個法則，它使 中每一個元素 都有 中一個確定的元素 與之對應.如果映射 使元素 與元素 對應，那麼就記爲
,
就爲 在映射 下的像，而 稱爲 在映射 下的一個原像.
到 自身的映射，有時也稱爲 到自身的變換.
關於 到 的映射 應注意：
1） 與 可以相同，也可以不同；
2）對於 中每個元素 ，需要有 中一個唯一確定的元素 與它對應；
3）一般， 中元素不一定都是 中元素的像；
4） 中不相同元素的像可能相同；
5）兩個集合之間可以建立多個映射.
集合 到集合 的兩個映射 及 ，若對 的每個元素 都有 則稱它們相等，記作 ..
例1 是全體整數的集合， 是全體偶數的集合，定義
,
這是 到 的一個映射.
例2 是數域 上全體 級矩陣的集合，定義
.
這是 到 的一個映射.
例3 是數域 上全體 級矩陣的集合，定義
.
是 級單位矩陣，這是 到 的一個映射.
例4 對於 ,定義
這是 到自身的一個映射.
例5 設 ， 是兩個非空的集合， 是 中一個固定的元素，定義
.
這是 到 的一個映射.
例6 設 是一個集合，定義
.
即 把 的每個元素都映到它自身，稱爲集合 的恆等映射或單位映射，記爲 .
例7 任意一個定義在全體實數上的函數
都是實數集合到自身的映射，因此函數可以認爲是映射的一個特殊情形.
對於映射可以定義乘法,設 及 分別是集合 到 ， 到 的映射，乘積 定義爲
,
即相繼施行 和 的結果， 是 到 的一個映射.
對於集合集合 到 的任何一個映射 顯然都有
.
映射的乘法適合結合律.設 分別是集合 到 ， 到 ， 到 的映射，映射乘法的結合律就是
.
設 是集合 到 的一個映射，用
代表 在映射 下像的全體，稱爲 在映射 下的像集合.顯然
.
如果 ，映射 稱爲映上的或滿射.
如果在映射 下， 中不同元素的像也一定不同，即由 一定有 ,那麼映射 就稱爲 的或單射.
一個映射如果既是單射又是滿射就稱 對應或雙射.
對於 到 的雙射 可以自然地定義它的逆映射，記爲 .因爲 爲滿射，所以 中每個元素都有原像，又因爲 是單射，所以每個元素只有一個原像，定義
.
顯然， 是 到 的一個雙射，並且
.
不難證明，如果 分別是 到 ， 到 的雙射，那麼乘積 就是 到 的一個雙射.
§2 線性空間的定義與簡單性質
一、線性空間的定義.
例1 在解析幾何裏,討論過三維空間中的向量.向量的基本屬性是可以按平行四邊形規律相加，也可以與實數作數量算法.不少幾何和力學對象的性質是可以通過向量的這兩種運算來描述的.
10 按平行四邊形法則所定義的向量的加法是V3的一個運算;
20 解析幾何中規定的實數與向量的乘法是R×V3到V3的一個運算.
30 由知道, 空間上向量的上述兩種運算滿足八條運算規律.
例2. 數域 上一切矩陣所成的集合對於矩陣的加法和數與矩陣的乘法滿足上述規律.
定義1 令 是一個非空集合， 是一個數域.在集合 的元素之間定義了一種代數運算，叫做加法；這就是說給出了一個法則，.對於 中任意兩個向量 與 ,在 中都有唯一的一個元素 與它們對應,稱爲 與 的和,記爲 .在數域 與集合 的元素之間還定義了一種運算，叫做數量乘法；這就是說，對於數域 中任一個數 與 中任一個元素 ,在 中都有唯一的一個元素 與它們對應,稱爲 與 的數量乘積,記爲 .如果加法與數量乘法滿足下述規則，那麼 稱爲數域 上的線性空間.
加法滿足下面四條規則：:
1) ；
2) ；
3) 在 中有一個元素0, ,都有 （具有這個性質的元素0稱爲 的零元素）；
4) ( 稱爲 的負元素).
數量乘法滿足下面兩條規則：
5) ;
6) ;
數量乘法與加法滿足下面兩條規則：
7) ;
8)
在以上規則中， 等表示數域 中任意數； 等表示集合 中任意元素.
例3 數域 上一元多項式環 ,按通常的多項式加法和數與多項式的乘法，構成一個數域 上的線性空間.如果只考慮其中次數小於 的多項式，再添上零多項式也構成數域 上的一個線性空間，用 表示.
例4 元素屬於數域 的 矩陣，按矩陣的加法和數與矩陣的數量乘法，構成數域 上的一個線性空間，用 表示.
例5 全體實函數，按函數加法和數與函數的數量乘法，構成一個實數域上的線性空間.
例6數域 按照本身的加法與乘法，即構成一個自身上的線性空間.
例7 以下集合對於所指定的運算是否作成實數域 上的線性空間:
1) 平面上全體向量所作成的集合 ,對於通常向量的加法和如下定義的純量乘法:
.
2) 上 次多項式的全體所作成的集合 對於多項式的加法和數與多項式的乘法.
例8 設 是正實數集, 爲實數域.規定
(即 與 的積),
⊙ = (即 的 次冪),
其中 .則 對於加法⊕和數乘⊙作成 上的線性空間.
二 線性空間的簡單性質
線性空間的元素也稱爲向量.當然這裏的向量比幾何中所謂向量的涵義要廣泛得多.線性空間有時也稱爲向量空間.以下用黑體的小寫希臘字母 代表線性空間 中的元素，用小寫拉丁字母 代表數域 中的數.
1.零元素是唯一的.
2.負元素是唯一的.
3.
4.如果 ,那麼 或者 .
§3 維數·基與座標
一、向量的線性相關與線性無關
定義2 設 是數域 上的一個線性空間， 是 一組向量, 是數域 中的數，那麼向量
稱爲向量組 的一個線性組合，有時也說向量 可以用向量組 線性表出.
定義3 設
; (1)
(2)
是 中兩個向量組，如果（1）中每個向量都可以用向量組（2）線性表出，那麼稱向量（1）可以用向量組（2）線性表出.如果（1）與（2）可以互相線性表出，那麼向量組（1）與（2）稱爲等價的.
定義4 線性空間 中向量 稱爲線性相關，如果在數域 中有 個不全爲零的數 ，使
. (3)
如果向量 不線性相關，就稱爲線性無關.換句話說，向量組 稱爲線性無關，如果等式（3）只有在 時才成立.
幾個常用的結論：
1. 單個向量 線性相關的充要條件是 .兩個以上的向量 線性相關的充要條件是其中有一個向量是其餘向量的線性組合.
2. 如果向量組 線性無關，而且可以被 線性表出，那麼 .
由此推出，兩個等價的線性無關的向量組，必含有相同個數的向量.
3. 如果向量組 線性無關，但 線性相關，那麼 可以由被 線性表出，而且表示法是唯一的.
在一個線性空間中究竟最多能有幾個線性無關的向量，顯然是線性空間的一個重要屬性.
定義5 如果在線性空間 中有 個線性無關的向量，但是沒有更多數目的線性無關的向量，那麼 就稱爲 維的；如果在 中可以找到任意多個線性無關的向量，那麼 就稱爲無限維的.
定義6 在 維線性空間 中， 個線性無關的向量 稱爲 的一組基.設 是 中任一向量，於是 線性相關，因此 可以被基 線性表出：
.
其中係數 是被向量 和基 唯一確定的，這組數就稱爲 在基 下的座標，記爲 .
由以上定義看來，在給出空間 的一組基之前，必須先確定 的維數.
定理1 如果在線性空間 中有 個線性無關的向量 ，且 中任一向量都可以用它們線性表出，那麼 是 維的，而 就是 的一組基.
例1 在線性空間 中，
是 個線性無關的向量，而且每一個次數小於 的數域 上的多項式都可以被它們線性表出，所以 是 維的，而 就是它的一組基.
例2 在 維的空間 中，顯然
是一組基.對於每一個向量 ,都有
.
所以 就是向量 在這組基下的座標.
例3 如果把複數域 看作是自身上的線性空間，那麼它是一維的，數1就是一組作是實數域上的線性空間，那麼就是二維的，數1與 就是一組基.這個例子告訴我們，維數是和所考慮的數域有關的.
§4 基變換與座標變換
在 維線性空間中，任意 個線性無關的向量都可以取作空間的基.對於不同的基，同一個向量的座標一般是不同的.隨着基的改變，向量的座標是怎樣變化的.
設 與 是 維線性空間 中兩組基，它們的關係是
(1)
設向量 在這兩組基下的座標分別是 與 ，即
(2)
現在的問題就是找出 與 的關係.
首先指出，(1)中各式的係數
實際上就是第二組基向量 在第一組基下的座標.向量 的線性無關性就保證了(1)中係數矩陣的行列式不爲零.換句話說，這個矩陣是可逆的.
爲了寫起來方便，引入一種形式的寫法.把向量
寫成
, (3)
也就是把基寫成一個 矩陣，把向量的座標寫成一個 矩陣，而把向量看作是這兩個矩陣的乘積.所以說這種寫法是”形式的”，在於這裏是以向量作爲矩陣的元素，一般說來沒有意義.不過在這個特殊的情況下，這種約定的用法是不會出毛病的.
相仿地，(1)可以寫成
. (4)
矩陣
稱爲由基 到 的過渡矩陣，它是可逆的.
在利用形式寫法來作計算之前，首先指出這種寫法所具有的一些運算規律.
設 和 是 中兩個向量組， 是兩個 矩陣，那麼
現在回到本節所要解決的問題上來.由(2)有
.
用(4)代入，得
.
與(3)比較，由基向量的線性無關性，得
, (5)
或者
. (6)
(5)與(6)給出了在基變換(4)下，向量的座標變換公式.
例1 在§3例2 中有
就是過渡矩陣.不難得出
.
因此
也就是
.
與§3所得出的結果是一致的.
例2 取 的兩個彼此正交的單位向量 它們作成 的一個基.令 分別是由 旋轉角 所得的向量，則 也是 的一個基，有
所以｛ ｝到｛ ｝的過渡矩陣是
.
設 的一個向量 關於基｛ ｝和｛ ｝的座標分別爲 與( ).於是由(5)得
即
這正是平面解析幾何裏，旋轉座標軸的座標變換公式.
§5 線性子空間
一、線性子空間的概念
定義7 數域 上的線性空間 的一個非空子集合 稱爲 的一個線性子空間（或簡稱子空間），如果 對於 的兩種運算也構成數域 上的線性空間.
定理2 如果線性空間 的一個非空集合 對於 兩種運算是封閉的，也就是滿足上面的條件1，2，那麼 就是一個子空間.
既然線性子空間本身也是一個線性空間，上面引入的概念，如維數、基、座標等，當然也可以應用到線性子空間上.因爲要線性子空間中不可能比在整個子空間中有更多數目線性無關的向量.所以，任何一個線性子空間的維數不能超過整個空間的維數.
例1 在線性空間中，由單個的零向量所組成的子集合是一個線性子空間，它叫做零子空間.
例2 線性空間 本身也是 的一個子空間.
在線性空間中，零子空間和線性空間本身這兩個子空間有時叫做 的平凡子空間，而其它的線性子空間叫做非平凡子空間.
例3 在全體實函數組成的空間中，所有的實係數多項式組成一個子空間.
例4 是線性空間 的子空間.
例5 在線性空間 中，齊次線性方程組
的全部解向量組成一個子空間，這個子空間叫做齊次線性方程組的解空間.解空間的基就是方程組的基礎解系，它的維數等於 ，其中 爲係數矩陣的秩.
二、生成子空間
設 是線性空間 中一組向量，這組向量所有可能的線性組合
所成的集合是非空的，而且對兩種運算封閉，因而是 的一個子空間，這個子空間叫做由 生成的子空間，記爲
.
由子空間的定義可知，如果 的一個子空間包含向量 ，那麼就一定包含它們所有的線性組合，也就是說，一定包含 作爲子空間.
在有限維線性空間中，任何一個子空間都可以這樣得到.事實上，設 是 的一個子空間， 當然也是有限維的.設 是 的一組基，就有
.
定理3 1)兩個向量組生成相同子空間的充要條件是這兩個向量組等價.2） 的維數等於向量組 的秩.
定理4 設 是數域 上 維線性空間 的一個 維子空間， 是 的一組基，那麼這組向量必可擴充爲整個空間的基.也就是說，在 中必定可以找到 個向量 使得 是 的一組基.
結論 數域 上線性空間 的一個非空子集 是 的一個子空間 .
§6子空間的交與和
定理5 如果 , 是線性空間 的兩個子空間，那麼它們的交 也是 的子空間.
由集合的交的定義有，子空間的交適合下列運算規律：
(交換律)，
（結合律）.
由結合律，可以定義多個子空間的交：
,
它也是子空間.
定義8 設 , 是線性空間 的子空間，所謂 與 的和，是指由所有能表示成 ,而 的向量組成的子集合，記作 .
定理6 如果 , 是線性空間 的子空間，那麼它們的和 也是 的子空間.
由定義有，子空間的和適合下列運算規律：
(交換律)，
（結合律）.
由結合律，可以定義多個子空間的和
.
它是由所有表示成
的向量組成的子空間.
關於子空間的交與和有以下結論：
1. 設 都是子空間，那麼由 與 可推出 ；而由 與 可推出 .
2. 對於子空間 與 ，以下三個論斷是等價的：
1）
2) ;
3) .
例1 在三維幾何中用 表示一條通過原點的直線， 表示一張通過原點而且與 垂直的平面，那麼， 與 的交是 ，而 與 的和是整個空間.
例2 在線性空間 中，用 與 分別表示齊次方程組
與
的解空間，那麼 就是齊次方程組
的解空間.
例3 在一個線性空間 中，有
.
關於兩個子空間的交與和的維數，有以下定理.
定理7（維數公式）如果 ， 是線性空間 的兩個子空間，那麼
維（ ）+維（ ）=維（ ）+維（ ）.
從維數公式可以看到，和的維數往往要比維數的和來得小.
推論 如果 維線性空間 中兩個子空間 ， 的維數之和大於 ，那麼 ， 必含有非零的公共向量.
§7 子空間的直和
定義9 設 是線性空間 的子空間，如果和 中每個向量 的分解式
是唯一的，這個和就稱爲直和，記爲 .
定理8 和 是直和的充要條件是等式
只有在 全爲零時才成立.
推論 和 是直和 .
定理9 設 是線性空間 的子空間，令 ，則
維( )=維( )+維( ).
定理10 設 是線性空間 的一個子空間，那麼一定存在一個子空間 使 .
子空間的直和的概念可以推廣到多個子空間的情形.
定義10 設 都是線性空間 的子空間，如果和 中每個向量 的分解式
是唯一的，這個和就稱爲直和，記爲 .
定理11 是線性空間 的一些子空間，下面這些條件是等價的：
1） 是直和；
2）零向量的表法唯一；
3） ;
4）維( )= .
§8 線性空間的同構
設 是線性空間 的一組基，在這組基下， 中每個向量都有確定的座標，而向量的座標可以看成 元素，因此向量與它的座標之間的對應實質上就是 到 的一個映射.顯然這個映射是單射與滿射，換句話說，座標給出了線性空間 與 的一個雙射.這個對應的重要性表現在它與運算的關係上.設
,
而向量 的座標分別是 , ，那麼
;
.
於是向量 的座標分別是
,
.
以上的式子說明在向量用座標表示之後，它們的運算就可以歸結爲它們座標的運算.因而線性空間 的討論也就可以歸結爲 的討論.
定義11 數域 上兩個線性空間 與 稱爲同構的，如果由 到 有一個雙射 ，具有以下性質：
1） ;
2)
其中 是 中任意向量， 是 中任意數.這樣的映射 稱爲同構映射.
前面的討論說明在 維線性空間 中取定一組基後，向量與它的座標之間的對應就是 到 的一個同構映射.因而，數域 上任一個 維線性空間都與 同構.
由定義可以看出，同構映射具有下列性質：
1. .
2. .
3. 中向量組 線性相關 它們的象 線性相關.
因爲維數就是空間中線性無關向量的最大個數，所以由同構映射的性質可以推知，同構的線性空間有相同的維數.
4. 如果 是 的一個線性子空間，那麼， 在 下的象集合
是 的子空間，並且 與 維數相同.
5. 同構映射的逆映射以及兩個同構映射的乘積還是同構映射.
同構作爲線性空間之間的一種關係，具有反身性、對稱性與傳遞性.
既然數域 上任意一個 維線性空間都與 同構，由同構的對稱性與傳遞性即得，數域 上任意兩個 維線性空間都同構.
定理12 數域 上兩個有限維線性空間同構的充要條件是它們有相同的維數.
由線性空間的抽象討論中，並沒有考慮線性空間的元素是什麼，也沒有考慮其中運算是怎樣定義的，而只涉及線性空間在所定義的運算下的代數性質.從這個觀點看來，同構的線性空間是可以不加區別的.因之，定理12說明了，維數是有限維線性空間的唯一的本質特徵.
第六章、線性空間(小結)
線性空間是線性代數的中心內容，是幾何空間的抽象和推廣，線性空間的概念具體展示了代數理論的抽象性和應用的廣泛性.
一、線性空間
1. 線性空間的概念
2. 線性間的性質
(1) 線性空間的零元，每個元素的負元都是唯一的；
(2) ; .
二、基、維數和座標
1．基本概念：線性表示（組合）；向量組等價；線性相關（無關）；基、維數和座標；過渡矩陣.
2．基本結論
(1)線性相關性的有關結論.
(2)在 維線性空間 中，任意 個線性無關的向量都作成 的一個基；任意 個線性無關的向量都可擴充爲 的一個基；任意 個向量都是線性相關的.
(3)若在線性空間 中有 個線性無關的向量 ,且 中任意向量都可由它線性表示，則 是 維的，而 就是 的一個基.
(4)設{ }和{ }是 維線性空間 的兩個基， 是由基{ }到基{ }的過渡矩陣， 和 分別是向量 在這兩個基下的座標，則 是可逆的，且
三、線性子空間及其形成
1．基本概念：子空間；生成子空間；子空間的和與直和.
2．基本結論：
(1) 線性空間 的非空子集合 作成 的子空間 對於 的兩種運算封閉.
(2) 線性空間 的兩個子空間的交與和仍爲子空間.
(3)(維數公式) 若 是線性空間 的兩個有限維子空間，則
(4) .
向量組{ }與{ }等價.
(5) 設 是線性空間 的一個子空間，則存在一個子空間 ，使得 ，此時稱 爲 的一個餘子空間.
(6) 設 是線性空間 的子空間，下面這些條件等價：
① 是直和；
② 零向量的表示法唯一；
③
④ .
四、線性空間的同構
1.同構的定義
2. 同構映射的基本性質：
(1) 線性空間的同構映射保持零元，負元，線性組合，線性相關性；
(2) 同構映射把子空間映成子空間；
(3) 線性空間的同構關係具有反身性，對稱性和傳遞性；
(4) 數域 上兩個有限維線性空間同構 它們有相同的維數，因而，每一個數域 上的 維線性空間都與 元數組所成的線性空間 同構.
本章的重點是線性空間的概念，子空間的和，基與維數；
難點是線性空間定義的抽象性，線性相關和子空間的直和.
本章的基本題型主要有：線性空間，子空間的判定或證明，線性相關與無關的判定或證明，基與維數的確定，過渡矩陣和座標的求法，直和及同構的判定或證明.
本章的基本內容及其內在聯繫可用下圖來說明：
