小波變換<?XML:NAMESPACE PREFIX = O />
長期以來，傅立葉分析一直被認爲是最完美的數學理論和最實用的方法之一。但是用傅立葉分析只能獲得信號的整個頻譜，而難以獲得信號的局部特性，特別是對於突變信號和非平穩信號難以獲得希望的結果。
爲了克服經典傅立葉分析本身的弱點，人們發展了信號的時頻分析法，1946年Gabor提出的加窗傅立葉變換就是其中的一種，但是加窗傅立葉變換還沒有從根本上解決傅立葉分析的固有問題。小波變換的誕生，正是爲了克服經典傅立葉分析本身的不足。
（一）連續小波變換
所謂小波（wavelet）是由滿足條件:
(1) 
(2) 
（其中<?XML:NAMESPACE PREFIX = V />
）
的解析函數經過平移、縮放得到的正交函數族
<?XML:NAMESPACE PREFIX = W />小波變換（WT，Wavelet Transform）是用小波函數族ya,b(t)按不同尺度對函數f(t)ÎL2 (R) 進行的一種線性分解運算：
對應的逆變換爲：
小波變換有如下性質：
（1）小波變換是一個滿足能量守恆方程的線形運算，它把一個信號分解成對空間和尺度（即時間和頻率）的獨立貢獻，同時又不失原信號所包含的信息；
（2）小波變換相當於一個具有放大、縮小和平移等功能的數學顯微鏡，通過檢查不同放大倍數下信號的變化來研究其動態特性；
（3）小波變換不一定要求是正交的，小波基不惟一。小波函數系的時寬-帶寬積很小，且在時間和頻率軸上都很集中，即展開係數的能量很集中；
（4）小波變換巧妙地利用了非均勻的分辨率，較好地解決了時間和頻率分辨率的矛盾；在低頻段用高的頻率分辨率和低的時間分辨率（寬的分析窗口），而在高頻段則用低的頻率分辨率和高的時間分辨率（窄的分析窗口），這與時變信號的特徵一致；
（5）小波變換將信號分解爲在對數座標中具有相同大小頻帶的集合，這種以非線形的對數方式而不是以線形方式處理頻率的方法對時變信號具有明顯的優越性；
（6）小波變換是穩定的，是一個信號的冗餘表示。由於a、b是連續變化的，相鄰分析窗的絕大部分是相互重疊的，相關性很強；
（7）小波變換同傅立葉變換一樣，具有統一性和相似性，其正反變換具有完美的對稱性。小波變換具有基於卷積和QMF的塔形快速算法。
（二）離散二進小波變換
在實際應用中，常常要把連續小波變換離散化。若對連續小波變換w¦（a, b）的伸縮因子a和b進行採樣，選取a=2-j，b=2-j kb0，則可得到離散的二進小波變換；
這裏j, k Î Z，採樣率b0 > 0.
由於離散二進小波變換是對連續小波變換的伸縮因子和平移因子按一定規則採樣而得到的，因此，連續小波變換所具有的性質，離散二進小波變換一般仍具備。
（三）Mallat算法
Mallat算法是便於計算機軟件和硬件實現的快速離散算法。這是Mallat在Burt和Adelson的圖像分解和重構的塔式算法的啓發下，根據多分辨率框架提出的算法。此算法在小波分析中的地位相當於FFT在經典傅立葉分析的地位。
按Mallat算法，我們可以把函數f(x)分解爲不同頻率通道的成分，並把每一頻率通道的成分按相位進行分解，頻率越高，相位劃分越細，頻率越低，相位劃分越粗。Mallat算法完全是離散的，便於數值計算。
小 波 分 析 簡 介 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />
課程號：06191120
課程名稱：小波分析 英文名稱：Wavelet Analysis Theory
周學時： 3-0 學分：3
預修要求：微積分，實變函數，泛函分析，複變函數
內容簡介：
小波變換是80年代後期發展起來的新的數學分支，在函數論、微分方程、信號分析與傳輸、圖象處理方面有着重要的應用。本課程作爲小波分析理論的入門課程，主要介紹了小波變換，包括離散小波變換和連續小波變換理論，同時介紹了Gabor變換及測不準原理。本課程還介紹了Mallat的迭代算法，Daubechies的緊支集正交小波構造理論及小波包理論。最後介紹了小波用於刻畫函數空間及在微分方程中的應用。
選用教材或參考書：
《小波變換及其應用》，李世雄， 高等教育出版社， 1997年
《小波與算子》， Y. 邁耶 著，尤衆 譯， 世界圖書出版公司， 1992年
《小 波 分 析》 教學大綱
一、 課程的教學目的和基本要求
小波變換是80年代後期發展起來的新的數學分支，在函數論、微分方程、信號分析與傳輸、圖象處理方面有着重要的應用。因此，小波分析已被列爲應用數學專業及工程應用專業的重要基礎課程。
通過對《小波分析》課程的學習，使學生初步掌握離散型小波變換和連續型小波變換的基本理論，熟悉小波變換的起源和應用背景。掌握Mallat的迭代算法及Daubechies的緊支集小波構造方法和理論。爲今後的應用和相關課程的學習打下基礎。
二、 相關教學環節安排
每次課後佈置作業，作業量爲2-3小時，主要是熟悉基本概念和鞏固定理的推導方法。
三、 課程主要內容及學時分配
每週6學時，共8周。
（一） 引論 3學時
（二） 小波變換的定義與基本性質 6學時
1．Gabor變換或“窗口”Fourier變換 1學時
2．小波(Wavelet)變換的定義與基本性質 2學時
3．窗口寬度與Heisenberg不確定原理 3學時
（三）正交小波基 9學時
1．Haar小波基，Shannon小波基 2學時
2．構造正交小波基的多尺度分析方法 2學時
3．尺度函數φ(t)的構造方法 2學時
4．緊支集正交小波基 2學時
5．兩維正交小波基 1學時
（四）小波與取樣定理 6學時
1．Shannon取樣定理及小波取樣定理 3學時
2．利用小波基構造取樣定理 3學時
（五）圖象數據壓縮與小波變換、小波包 6學時
1．Mallat的小波變換極大模算法 3學時
2．Karhunen-Loeve變換、小波包與圖象數據壓縮 3學時
（六）小波與函數空間的基及算子 6學時
1．線性空間的基 3學時
2．函數與算子按小波基展開的算法 3學時
（七）小波變換與奇性分析 9學時
1．小波與函數的奇性 3學時
2．小波與微局部分析 3學時
3．小波與微分方程的奇性傳播 3學時
（八）複習 3學時
四、 教材及主要參考書
《小波變換及其應用》，李世雄， 高等教育出版社， 1997年
《小波與算子》， Y. 邁耶 著，尤衆 譯， 世界圖書出版公司， 1992年