動態規劃問題一般具有兩個要素：最優子結構與子問題重疊。
通常在求解LCS問題時，我們都會用到兩種方法：
1. momo-ization（備忘錄方法）
利用了該問題的重疊子問題特性，而重疊子問題可以使用遞歸直接解決
| 0 | A | B | C | B | D | A | B | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| B | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| D | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 |
| C | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| A | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 2 |
| B | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 |
| A | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 |
所謂自上而下就是從下表最大處開始遞歸求解，最終結果爲LCS(x,y,x.length,y.length);
也就是上表中從最後一格向上回溯直到哨兵的過程，在求解每個子問題之前，我們先檢測一下這個子問題之前有沒有算過，若果有，那麼不用計算直接返回結果，如果沒有，那麼就計算這個子問題，之後將結果保存起來，方便下次再遇到時使用。。
時間複雜度T(n) = O(mn);
空間複雜度S = O(mn);//二維數組
public class TTBlcs {
static int[][] c = new int[100][100];
static int NIF = 9999;
public static void main(String[] args) {
char[] x = {'A','B','C','B','D','A','B'};
char[] y = {'B','D','C','A','B','A'};
//TTBlcs t = new TTBlcs();
for(int i = 0;i <= x.length;i++){//周圍有一圈哨兵均爲0
for(int j = 0;j <= y.length;j++)
{
c[i][j] = NIF;
}
}
System.out.print(LCS(x,y,x.length,y.length));//自上而下
}
public static int LCS(char[] x,char[] y,int i,int j){
if(c[i][j] < NIF)//記錄如果算出來便直接返回（備忘）
return c[i][j];
if((i == 0)||(j == 0)){
c[i][j] = 0;
}
else if(x[i-1] == y[j-1])
c[i][j] = LCS(x,y,i-1,j-1) + 1;
else
c[i][j] = LCS(x,y,i-1,j) >= LCS(x,y,i,j-1)? LCS(x,y,i-1,j):LCS(x,y,i,j-1);
return c[i][j];
}
}2. 動態規劃DP：
所謂自下而上，就是從下標(1,1)處開始求解的過程，不過省去了遞歸的過程，自下而上的構建原問題的解，首先求解最基本的情況，再從最基本的情況一部一部的向上求解，比如我要求解[2…4]，那麼我首先需要知道[2…2][3…4]和[2…3][4…4]的最優解，需要知道[3…4]，那麼首先需要知道[3…3][4…4]的最優解，所以，倒不如我們將原問題需要的解先構建出來，再慢慢向上一層一層的構建，最後組成原問題的解！。
時間複雜度T(n) = O(mn);
空間複雜度S = O(mn);//二維數組
public class BTTlcs {
static int[][] c = new int[100][100];
public static void main(String[] args) {
char[] x = {'A','B','C','B','D','A','B'};
char[] y = {'B','D','C','A','B','A'};
for(int k = 0;k <= x.length;k++)
{
c[0][k] = 0;
}
for(int k = 0;k <= y.length;k++)
{
c[k][0] = 0;
}
LCS(x,y);
}
public static void LCS(char[] x,char[] y){
for(int i = 1;i <= x.length;i++)
{
for(int j = 1;j <= y.length;j++)
{
if(x[i-1] == y[j-1])
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
else
c[i][j] = c[i-1][j] >= c[i][j-1]?c[i-1][j]:c[i][j-1];
}
}
for(int i = 0;i <= x.length;i++)
{
for(int j = 0;j<y.length;j++)
{
System.out.print(c[i][j]);
}
System.out.print("\n");
}
System.out.print(c[x.length][y.length]);
}
}