【NOIP2016提高A组8.12】奇袭

Description

由于各种原因，桐人现在被困在Under World（以下简称UW）中，而UW马上要迎来最终的压力测试——魔界入侵。
唯一一个神一般存在的Administrator被消灭了，靠原本的整合骑士的力量是远远不够的。所以爱丽丝动员了UW全体人民，与整合骑士一起抗击魔族。
在UW的驻地可以隐约看见魔族军队的大本营。整合骑士们打算在魔族入侵前发动一次奇袭，袭击魔族大本营！
为了降低风险，爱丽丝找到了你，一名优秀斥候，希望你能在奇袭前对魔族大本营进行侦查，并计算出袭击的难度。
经过侦查，你绘制出了魔族大本营的地图，然后发现，魔族大本营是一个N×N的网格图，一共有N支军队驻扎在一些网格中（不会有两只军队驻扎在一起）。
在大本营中，每有一个k×k(1≤k≤N)的子网格图包含恰好k支军队，我们袭击的难度就会增加1点。
现在请你根据绘制出的地图，告诉爱丽丝这次的袭击行动难度有多大。

Input

第一行，一个正整数N，表示网格图的大小以及军队数量。
接下来N行，每行两个整数,Xi,Yi，表示第i支军队的座标。
保证每一行和每一列都恰有一只军队（即每一个Xi和每一个Yi都是不一样的）。

Output

一行，一个整数表示袭击的难度。

Sample Input

5
1 1
3 2
2 4
5 5
4 3

Sample Output

10
【样例解释】
显然，分别以(2,2)和(4,4)为左上,右下顶点的一个子网格图中有3支军队，这为我们的难度贡献了1点。
类似的子网格图在原图中能找出10个。
##Data Constraint
对于30%的数据，N ≤ 100
对于60%的数据，N ≤ 5000
对于100%的数据，N ≤ 50000

Solution

乍一看以为是一道数论题
但是看一个条件
保证每一行和每一列都恰有一只军队（即每一个Xi和每一个Yi都是不一样的）
这说明我们可以把图压扁，变成一维（被歌者降维了）
意思是原来是$a[x,y]=1$变成$a[x]=y$
之后变成数列上的问题。
怎样判断一个状态是否合法呢？

给定一个l和r，l和r代表的就是列，而a[l]和a[r]就是行，**如果$max(l,r)-min(l,r)=l-r$（max(l,r)表示l~r之间的a的最大值，min是最小值）**那就ans++

直接暴力枚举就有60分了
100分怎么做？
有两种做法，线段树和分治，这里考虑分治。
每次通过特殊的方法找max和min来判断是否要ans++
对于当前的一段l~r，还有它的中点m，已中点分开，如果找到的两个左右边界在同侧，那就分治下去，只考虑左右边界跨越了中点
分为四种情况考虑
1、max和min同在m左侧
2、max和min同在m右侧
3、min在左，max在右
4、min在右，max在左
为了解决问题，定义$ma[i]$表示从中点到i之间的最大值，显然从中间往两边分别单调递增
同样定义$mi[i]$为最小值，显然从中点往两边分别单调递减
mi和ma直接在每次分治时暴力处理出
左右边界分别设为i和j
先从m向l枚举i

第一种情况

对于i算出对应的j
$j=ma[i]-mi[i]+i$
然后判断j必须在右侧，且没有出界，并且$ma[j]<mi[i]$，$mi[j]>ma[i]$，因为max与min都在左侧，那右边就不能有比左边最大大的和比左边最小小的。

第二种

与第一种对称就行了

第三种

设两个指针$z1$和$z2$，作用等会说
与第一种一样，因为左小右大，所以必须保证$ma[j]>ma[i]$，$mi[j]>mi[i]$即左边不能比右边大，左边必须比右边小
那么就用z1维护在保证$ma[z1]>ma[i]$时可取得最小值，因为$ma[i]$是单调的，所以z1的取值也是随着i的减小而增大的
z2则维护保证$mi[z2]>mi[i]$的最大值，同理，z2也是随着i的减小而增大的
那怎么计算数量呢，看张图

z1右边的所有点满足$ma[z1]>ma[i]$，z2左边的所有点满足$mi[z2]>mi[i]$
那z1和z2之间的就是j的取值范围了
具体实现：
在z2往右走的时候在桶里+1，z1走的时候桶里-1最后就可以统计出数量了
桶的哪个位置改变呢？
要保证$ma(j)-mi(i)=j-i$
移项得$ma(j)-j=mi(i)-i$
而z1、z2就是为了找出j的范围，所以在桶里就是ma[z1]-z1或z2所在的位置相加减
而$ans+=mi[i]-i$就行了
p.s：$mi[i]-i$可能是负数，c++就加一个很打的数就行了

第四种

与第三种对称

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 51000
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
int a[N],n,ans=0,mi[N],ma[N],t[N*5];
void dg(int l,int r)
{
	if(l==r) return;
	int m=(l+r)/2;
	mi[m]=ma[m]=a[m];
	mi[m+1]=ma[m+1]=a[m+1];
	fd(i,m-1,l) mi[i]=min(a[i],mi[i+1]),ma[i]=max(a[i],ma[i+1]);
	fo(i,m+2,r) mi[i]=min(a[i],mi[i-1]),ma[i]=max(a[i],ma[i-1]);
	int z1=m+1,z2=m+1;
	fd(i,m,l) 
	{
		int j=ma[i]-mi[i]+i;
		if(j>m&&j<=r&&ma[j]<ma[i]&&mi[j]>mi[i]) ans++;
		while(z2<=r&&mi[z2]>=mi[i]) t[ma[z2]-z2+N]++,z2++;
		while(z1<=r&&ma[z1]<=ma[i]) t[ma[z1]-z1+N]--,z1++;
		ans+=max(t[mi[i]-i+N],0);
	}
	fo(i,l,r) t[ma[i]-i+N]=0;
	z1=m;z2=m;
	fo(i,m+1,r)
	{
		int j=i-ma[i]+mi[i];
		if(j<=m&&j>=l&&ma[j]<ma[i]&&mi[j]>mi[i]) ans++;
		while(z2>=l&&mi[z2]>=mi[i]) t[ma[z2]+z2+N]++,z2--;
		while(z1>=l&&ma[z1]<=ma[i]) t[ma[z1]+z1+N]--,z1--;
		ans+=max(t[mi[i]+i+N],0);
	}
	fo(i,l,r) t[ma[i]+i+N]=0;
	dg(l,m);dg(m+1,r);
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	fo(i,1,n)
	{
		int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
		a[x]=y;
	}
	dg(1,n);
	printf("%d",ans+n);
}