Manachaer算法詳解
1.Manacher算法原理
下面介紹Manacher算法的原理與步驟。
首先，Manacher算法提供了一種巧妙地辦法，將長度爲奇數的迴文串和長度爲偶數的迴文串一起考慮，具體做法是，在原字符串的每個相鄰兩個字符中間插入一個分隔符，同時在首尾也要添加一個分隔符，分隔符的要求是不在原串中出現，一般情況下可以用#號。下面舉一個例子：
（1）Len數組簡介與性質
Manacher算法用一個輔助數組Len[i]表示以字符T[i]爲中心的最長迴文字串的最右字符到T[i]的長度，比如以T[i]爲中心的最長迴文字串是T[l,r],那麼Len[i]=r-i+1。
對於上面的例子，可以得出Len[i]數組爲:
Len數組有一個性質，那就是Len[i]-1就是該回文子串在原字符串S中的長度，至於證明，首先在轉換得到的字符串T中，所有的迴文字串的長度都爲奇數，那麼對於以T[i]爲中心的最長迴文字串，其長度就爲2*Len[i]-1,經過觀察可知，T中所有的迴文子串，其中分隔符的數量一定比其他字符的數量多1，也就是有Len[i]個分隔符，剩下Len[i]-1個字符來自原字符串，所以該回文串在原字符串中的長度就爲Len[i]-1。
有了這個性質，那麼原問題就轉化爲求所有的Len[i]。下面介紹如何在線性時間複雜度內求出所有的Len。
（2）Len數組的計算
首先從左往右依次計算Len[i]，當計算Len[i]時，Len[j](0<=j<i)已經計算完畢。設P爲之前計算中最長迴文子串的右端點的最大值，並且設取得這個最大值的位置爲po，分兩種情況：
第一種情況：i<=P
那麼找到i相對於po的對稱位置，設爲j，那麼如果Len[j]<P-i，如下圖：
那麼說明以j爲中心的迴文串一定在以po爲中心的迴文串的內部，且j和i關於位置po對稱，由迴文串的定義可知，一個迴文串反過來還是一個迴文串，所以以i爲中心的迴文串的長度至少和以j爲中心的迴文串一樣，即Len[i]>=Len[j]。因爲Len[j]<P-i,所以說i+Len[j]<P。由對稱性可知Len[i]=Len[j]。
如果Len[j]>=P-i,由對稱性，說明以i爲中心的迴文串可能會延伸到P之外，而大於P的部分我們還沒有進行匹配，所以要從P+1位置開始一個一個進行匹配，直到發生失配，從而更新P和對應的po以及Len[i]。
第二種情況: i>P
如果i比P還要大，說明對於中點爲i的迴文串還一點都沒有匹配，這個時候，就只能老老實實地一個一個匹配了，匹配完成後要更新P的位置和對應的po以及Len[i]。
2.時間複雜度分析
Manacher算法的時間複雜度分析和Z算法類似，因爲算法只有遇到還沒有匹配的位置時才進行匹配，已經匹配過的位置不再進行匹配，所以對於T字符串中的每一個位置，只進行一次匹配，所以Manacher算法的總體時間複雜度爲O(n)，其中n爲T字符串的長度，由於T的長度事實上是S的兩倍，所以時間複雜度依然是線性的。
p[i] = mx > i ? min(p[2 * p0 - i], mx - i) : 1;
while ((i - p[i] >= 0 && i + p[i] < len)
&& (NewStr[i - p[i]] == NewStr[i + p[i]]))
{
++p[i];
}
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iterator>
using namespace std;
void InitString(string& Str);
int Manacher(const string& Str);
void InitString(string& Str)
{
if (Str.empty())
{
return;
}
//string ret(0, 2 * Str.length() + 1);
string ret="#";
ret.reserve(2*Str.length()+1);
for (size_t i = 0; i < Str.length(); i++)
{
ret = ret + Str[i] + "#";
}
Str = ret;
}
int Manacher(const string& Str)
{
if (Str.empty())
{
return 0;
}
string NewStr = Str;
InitString(NewStr);
cout << "newStr: " << NewStr << endl;
int len = (int)NewStr.length();
int* p = new int[NewStr.length()]();
int ans = 0, i = 0, mx = 0, p0 = 0;
//mx 表示最右邊字符的下一個
for (i = 0; i < len; ++i)
{
p[i] = mx > i ? min(p[2 * p0 - i], mx - i) : 1;
if (mx - i > p[2 * p0 - i])
{//這一句加上會加速尋找過程
continue;
}
while ((i - p[i] >= 0 && i + p[i] < len)
&& (NewStr[i - p[i]] == NewStr[i + p[i]]))
{//用p[i]作爲循環變量是很巧妙的
++p[i];
}
if (i + p[i] > mx)
{
//更新mx 與p0
mx = p[i] + i;
p0 = i;
}
ans = max(p[i], ans);
}
copy(p, p + len, ostream_iterator<int>(cout, " "));
return ans - 1;
}
int main(void)
{
string Str = "1221";
cout<<"\nManacher： "<<Manacher(Str)<<endl;
Str = "111";
cout << "\nManacher： " << Manacher(Str) << endl;
return 0;
}