模運算

很多地方用到模運算，這裏說明模運算的一些規律，並加以證明。 後續會對這些理論實際的應用加以記錄和說明。

1. 模運算是取餘運算(記做 % 或者 mod)，具有週期性的特點。 m%n的意思是n除m後的餘數， 當m遞增時m%n呈現週期性特點， 並且n越大，週期越長，週期等於n。 
    例如
       0 % 20 = 0，1 % 20 = 1， 2 % 20 = 2， 3 % 20 = 3， ...， 19 % 20 = 19
      20 % 20 = 0，21 % 20 = 1，22 % 20 = 2，23 % 20 = 3， ...，39 % 20 = 19
2. 如果 m % n = r，那麼可以推出如下等式
    m = k * n + r (k爲大於等於0的整數， r <= m）
3. 同餘式， 表示正整數a，b對n取模，它們的餘數相同，記做 a ≡ b mod n或者a = b (mod n)。
   根據2的等式可以推出 a = kn + b 或者 a - b = kn
   證明：  ∵ a = k1 * n + r1
             b = k2 * n + r2
          ∴ a - b = (k1 - k2) * n + (r1 - r2)
             a = k * n + (r1 - r2) + b
          ∵ a, b對n取模同餘，r1 = r2
          ∴ a = k * n + b (k = k1 - k2)
4. 模運算規則， 模運算與基本四則運算有些相似，但是除法例外。其規則如下
   (a + b) % n = (a % n + b % n) % n            （1）
   (a - b) % n = (a % n - b % n) % n            （2） 
   (a * b) % n = (a % n * b % n) % n            （3）
    a^b % n = ((a % n)^b) % n                      （4）

（1）式證明
∵ a = k1*n + r1

   b = k2*n + r2

  a % n = r1

  b % n = r2

∴(a+b) % n = ((k1+k2)*n + (r1+r2)) % n = (r1+r2) % n = (a % n + b % n)% n
    得證
（2）式證明同上
（3）式證明
     a = k1*n + r1
     b = k2*n + r2
     (a*b) % n = (k1k2n² + (k1r2+k2r1)n + r1r2) % n = r1r2 % n = (a %n * b %n ) % n
 (4)式證明
      設 a % n = r
      a^b %n= (a * a * a * a…*a) %n = (a %n * a %n * a %n * … * a %n) %n = r^b % n = ((a % n) ^b) % n
 
模運算看起來不是很直觀，但是可以用來推導出一些有用的東西。 例如（4）式可以用來降冪運算，例如計算62⁶⁵ % 133,直接計算的話需要算出62⁶⁵ 利用（4）式可以進行降冪運算。
  62⁶⁵ % 133
  = 62 * 62⁶⁴ % 133
  = 62 * (62²)³² % 133
  = 62 * 3844³² % 133
  = 62 * (3844 % 133)³² % 133
  = 62 * 120³² % 133

  = 62 * 36¹⁶ % 133
  = 62 * 99⁸ % 133
  = 62 * 92⁴ % 133
  = 62 * 85² % 133
  = 62 * 43 % 133
  = 2666 % 133
  = 6