一 基本概念
分治法，顧名思義分而治之的意思，就是把一個複雜的問題分成兩個或更多的相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題……直到最後子問題可以簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合併。
二基本思想及策略
分治法的設計思想是：將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。
分治策略是：對於一個規模爲n的問題，若該問題可以容易地解決（比如說規模n較小）則直接解決，否則將其分解爲k個規模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題形式相同，遞歸地解這些子問題，然後將各子問題的解合併得到原問題的解。這種算法設計策略叫做分治法。
如果原問題可分割成k個子問題，1<k≤n，且這些子問題都可解並可利用這些子問題的解求出原問題的解，那麼這種分治法就是可行的。由分治法產生的子問題往往是原問題的較小模式，這就爲使用遞歸技術提供了方便。在這種情況下，反覆應用分治手段，可以使子問題與原問題類型一致而其規模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這自然導致遞歸過程的產生。分治與遞歸像一對孿生兄弟，經常同時應用在算法設計之中，並由此產生許多高效算法。
三、分治法特徵
分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特徵：
1)該問題的規模縮小到一定的程度就可以容易地解決
2)該問題可以分解爲若干個規模較小的相同問題，即該問題具有最優子結構性質。
3)利用該問題分解出的子問題的解可以合併爲該問題的解；
4)該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子問題。
第一條特徵是絕大多數問題都可以滿足的，因爲問題的計算複雜性一般是隨着問題規模的增加而增加；
第二條特徵是應用分治法的前提它也是大多數問題可以滿足的，此特徵反映了遞歸思想的應用；、
第三條特徵是關鍵，能否利用分治法完全取決於問題是否具有第三條特徵，如果具備了第一條和第二條特徵，而不具備第三條特徵，則可以考慮用貪心法或動態規劃法。
第四條特徵涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨立的則分治法要做許多不必要的工作，重複地解公共的子問題，此時雖然可用分治法，但一般用動態規劃法較好。
四、基本步驟
分治法在每一層遞歸上都有三個步驟：
1分解：將原問題分解爲若干個規模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題；
2解決：若子問題規模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個子問題
3合併：將各個子問題的解合併爲原問題的解。
它的一般的算法設計模式如下：
Divide-and-Conquer(P)
1.if |P|≤n0
2.then return(ADHOC(P))
3.將P分解爲較小的子問題P1,P2 ,...,Pk
4.for i←1 to k
5.do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 遞歸解決Pi
6.T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合併子問題
7.return(T)
其中|P|表示問題P的規模；n0爲一閾值，表示當問題P的規模不超過n0時，問題已容易直接解出，不必再繼續分解。ADHOC(P)是該分治法中的基本子算法，用於直接解小規模的問題P。因此，當P的規模不超過n0時直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是該分治法中的合併子算法，用於將P的子問題P1,P2 ,...,Pk的相應的解y1,y2,...,yk合併爲P的解。
五、分治法的複雜性分析
一個分治法將規模爲n的問題分成k個規模爲n／m的子問題去解。設分解閥值n0=1，且adhoc解規模爲1的問題耗費1個單位時間。再設將原問題分解爲k個子問題以及用merge將k個子問題的解合併爲原問題的解需用f(n)個單位時間。用T(n)表示該分治法解規模爲|P|=n的問題所需的計算時間，則有：
T（n）=k T(n/m)+f(n)
通過迭代法求得方程的解：
遞歸方程及其解只給出n等於m的方冪時T(n)的值，但是如果認爲T(n)足夠平滑，那麼由n等於m的方冪時T(n)的值可以估計T(n)的增長速度。通常假定T(n)是單調上升的，從而當 mi≤n<mi+1時，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)
六、依據分治法設計程序時的思維過程
實際上就是類似於數學歸納法，找到解決本問題的求解方程公式，然後根據方程公式設計遞歸程序。
1、一定是先找到最小問題規模時的求解方法
2、然後考慮隨着問題規模增大時的求解方法
3、找到求解的遞歸函數式後（各種規模或因子），設計遞歸程序即可。
七 分治法解決漢諾塔問題事例
對於n個盤子的漢諾塔問題，總有3根柱子，當前所有n個盤子都在柱子a上，那麼如何通過柱子b將所有盤子挪到柱子c上？
對於n＝1，好吧，從a到c沒有問題；
如果n>1，可以考慮爲a有兩個盤子一個是最下面的盤子，一個是上面的n-1個盤子（n-1個盤子看作一個整體），那麼問題就是首先將n-1個盤子挪到b柱子上，然後把最下面的盤子放到c柱子上；
剩下的問題就是如何將n-1個盤子由b挪到c上。
很明顯，我們採用數學歸納法找到了解決方案。
代碼1 漢諾塔實現代碼
using System;
namespace hannoi
{
class MainClass
{
public static void Main (string[] args)
{
hannoi (4, 'a', 'b', 'c');
}
/// <summary>
/// n個盤，由a經由b放置在c
/// </summary>
/// <param name="n">盤子總數</param>
/// <param name="a">n個盤子當前所在的柱子.</param>
/// <param name="b">可中轉的柱子.</param>
/// <param name="c">n個盤子最終要放置的柱子.</param>
static void hannoi(int n, char a, char b, char c)
{
//只剩下一個盤子，那就由a直接到c
if (n == 1) {
Console.WriteLine (a.ToString() + "->" + c.ToString());
return;
}
//遞歸n－1個盤子，由a放置到b
hannoi (n - 1, a, c, b);
//a上剩下的一個盤子，由a拿到c，輸出出來
Console.WriteLine (a.ToString() + "->" + c.ToString());
//b上有n-1個盤子，將這n-1個盤子遞歸放到c上
hannoi (n - 1, b, a, c);
}
}
}
運行結果：
八 常用的分治法算法
（1）二分搜索
（8）最接近點對問題
注：參考文章：http://www.cnblogs.com/steven_oyj/archive/2010/05/22/1741370.html