1. 題目描述
輸入一個整數n，求從1到n這n個整數的十進制表示中1出現的次數。例如輸入12，從1到12這些整數中包含1的數字有1，10，11和12，1一共出現了5次。
2. 題目來源
第一次看到是在《劍指Offer》第2版上，面試題32。leetcode和牛客網上都有這道題。
3. 本文的目的
看了《劍指Offer》上的解法，我覺得不能算好：
- 這段解釋描述有些不清晰，而且沒有圖，難以理解。
- 從書中給出的實現上來看，顯得有些凌亂。
在這篇博客裏，會給出一個我對這道題的解法，包括完整的解題思路，完整代碼，時間複雜度分析，以及在leetcode和牛客網上的提交結果。
4. 解題思路
考慮將n的十進制的每一位單獨拿出討論，每一位的值記爲weight。
1) 個位
從1到n，每增加1，weight就會加1，當weight加到9時，再加1又會回到0重新開始。那麼weight從0-9的這種週期會出現多少次呢？這取決於n的高位是多少，看圖：
以534爲例，在從1增長到n的過程中，534的個位從0-9變化了53次，記爲round。每一輪變化中，1在個位出現一次，所以一共出現了53次。
再來看weight的值。weight爲4，大於0，說明第54輪變化是從0-4，1又出現了1次。我們記1出現的次數爲count，所以：
如果此時weight爲0（n=530），說明第54輪到0就停止了，那麼：
2) 十位
對於10位來說，其0-9週期的出現次數與個位的統計方式是相同的，見圖：
不同點在於：從1到n，每增加10，十位的weight纔會增加1，所以，一輪0-9週期內，1會出現10次。即rount*10。
再來看weight的值。當此時weight爲3，大於1，說明第6輪出現了10次1，則：
如果此時weight的值等於0（n=504），說明第6輪到0就停止了，所以：
如果此時weight的值等於1（n=514），那麼第6輪中1出現了多少次呢？很明顯，這與個位數的值有關，個位數爲k，第6輪中1就出現了k+1次(0-k)。我們記個位數爲former，則：
3) 更高位
更高位的計算方式其實與十位是一致的，不再闡述。
4) 總結
將n的各個位分爲兩類：個位與其它位。
對個位來說：
- 若個位大於0，1出現的次數爲
round*1+1 - 若個位等於0，1出現的次數爲
round*1
對其它位來說，記每一位的權值爲base，位值爲weight，該位之前的數是former，舉例如圖：
則：
- 若weight爲0，則1出現次數爲
round*base - 若weight爲1，則1出現次數爲
round*base+former+1 - 若weight大於1，則1出現次數爲
rount*base+base
比如：
- 534 = （個位1出現次數）+（十位1出現次數）+（百位1出現次數）=（53*1+1）+（5*10+10）+（0*100+100）= 214
- 530 = （53*1）+（5*10+10）+（0*100+100） = 213
- 504 = （50*1+1）+（5*10）+（0*100+100） = 201
- 514 = （51*1+1）+（5*10+4+1）+（0*100+100） = 207
- 10 = (1*1)+(0*10+0+1) = 2
public class Solution {
/*
public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
int ones = 0;
for (long m = 1; m <= n; m *= 10)
ones += (n/m + 8) / 10 * m + (n/m % 10 == 1 ? n%m + 1 : 0);
return ones;
}
*/
/*
將n的各個位分爲兩類：個位與其它位。
對個位來說：
若個位大於0，1出現的次數爲round*1+1
若個位等於0，1出現的次數爲round*1
對其它位來說，記每一位的權值爲base，位值爲weight，該位右邊的數是former,該位左邊的數是round，
則：
若weight爲0，則1出現次數爲round*base
若weight爲1，則1出現次數爲round*base+former+1
若weight大於1，則1出現次數爲rount*base+base
*/
public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
if(n <=0)
return 0;
int count = 0;
int round = n;
int base = 1;
while(round > 0){
int weight = round % 10;
round /= 10;
count += round * base;
if(weight == 1)
count += n % base + 1;
else if(weight > 1){
count += base;
}
base *= 10;
}
return count;
}
}6. 時間複雜度分析
由分析思路或者代碼都可以看出，while循環的次數就是n的位數,logn（以10爲底），而循環體內執行的操作都是有限次的，所以時間複雜度爲O(logn)。