樹狀數組(BIT - Binary Indexed Tree)是一個用數組表示的樹型數據結構，最早用於頻次累計表中。樹狀數組中每個元素維護一個頻次表A的特定部分區段的累加和。假設輸入動態序列爲A，A中元素值可以被修改，如果使用直接蠻力法來查詢一個區間i..j的累加和，複雜度爲O(n)，而樹狀數組由於每個元素存儲的是部分累加和，通過數組下標的二進制索引規律可以在O(logn)時間內找到1...j或i...j的累加和。存儲空間只需要維護樹狀數組T，A的元素值可以很容易地從T得到（即特例i=j時的區間查詢）。
數組A下標通常從0開始，而樹狀數組的有效下標是從1開始。下面關於lowbit的討論假設數組A下標從1開始。
樹狀數組中元素在樹型結構中的位置是根據數組下標的lowbit函數值2^r來確定的。定義每一個元素T[i]的值等於A[i-2^r + 1] + ... + A[i]，即T[i]表示共2^r個元素的部分累加和，或者說T[i]元素管轄區段從i開始往前推2^r個元素。2^r的計算方法很簡單，就是i & (-i)，原理是利用負數補碼等於相應正數值取反加一，例如當i=6時，對應的二進制數是0110，取反得到1001，加一得到1010，從而2^r=lowbit(i)=0110 & 1010 = 10，即2^r等於十進制值2，或者說T[6]管轄區段長度爲2, 即T[6] = A[5] + A[6]。
有了lowbit值，可以高效地查詢數列A從1到i的區間所有元素的累加和：即將若干個T[j]累計即可（j>=1），設T[j]管轄的區段長度爲lowbit(j)，那麼T[j-1]管轄的區段的最高下標值可以通過j = j - lowbit(j)得到；也可以低代價更新數列A的某個元素，這時需要更新受影響的T中相應元素，在樹型結構中，某一個結點的父結點就是受影響的結點之一，而T[j]的父結點管轄的區段的最高下標值可以通過j = j + lowbit(j)得到 （j<=n）。查詢區間可以用差分方法: 如果i<=j，那麼sum(A[i..j]) = query(j) - query(i-1)。
實現：
/**
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* Binary Indexed Tree (BIT)
* Peter M. Fenwick: A New Data Structure for Cumulative Frequency Tables
*
* Copyright (c) 2011 ljs (http://blog.csdn.net/ljsspace/)
* Licensed under GPL (http://www.opensource.org/licenses/gpl-license.php)
*
* @author ljs
* 2011-08-09
*
*/
public class BinaryIndexTree {
private int[] T;
public BinaryIndexTree(int n) {
//each element in T is initialized to 0
T = new int[n + 1];
}
private int lowbit(int idx){
return idx & (-idx);
}
//idx starts with 1, not 0
public void update(int idx, int val) {
while (idx < T.length) {
T[idx] += val;
idx += lowbit(idx);
}
}
//idx starts with 1, not 0
public int query(int idx) {
int sum = 0;
while (idx > 0) {
sum += T[idx];
idx -= lowbit(idx);
}
return sum;
}
//get the sum from A[i] to A[j] inclusively
public int queryInterval(int i,int j){
if(j<i){
//swap
int tmp=j;j=i;i=tmp;
}
return query(j)-query(i-1);
}
private void report(){
int n = T.length - 1;
//report
System.out.print("A from tree=");
for(int i=1;i<=n;i++){
int ai = query(i)-query(i-1);
System.out.format(" %d",ai);
}
System.out.println();
//tree
System.out.format("T[1..%d]=",n);
for(int j=1;j<=n;j++){
System.out.format(" %d",T[j]);
}
System.out.println();
//query
System.out.print("sums = ");
for(int j=1;j<=n;j++){
int r = this.query(j);
System.out.format(" %d",r);
}
System.out.println();
}
public static void main(String[] args) throws Exception {
int[] A = new int[]{2,3,4,5,6};
int n = A.length;
BinaryIndexTree bit = new BinaryIndexTree(n);
//update all elements
for(int i=0,j=1;i<n;i++,j++){
bit.update(j, A[i]);
}
//update a single element
int val = 4;
int idx = 3;
A[idx-1] += val;
bit.update(idx, val);
System.out.format("A[0..%d] = ",n-1);
for(int i=0;i<n;i++){
System.out.format(" %d",A[i]);
}
System.out.println();
bit.report();
//sum query
int q=3;
int r = bit.query(q);
System.out.format("sum A[%d..%d]: %d%n", 0,q-1,r);
//interval query
int p = 2;
q=4;
r = bit.queryInterval(p, q);
System.out.format("sum A[%d..%d]: %d%n", p-1,q-1,r);
System.out.println("*****************");
A = new int[]{1,0,2,1,1,3,0,4,2,5,2,2,3,1,0,2};
n = A.length;
bit = new BinaryIndexTree(n);
//update all elements
for(int i=0,j=1;i<n;i++,j++){
bit.update(j, A[i]);
}
System.out.format("A[0..%d] = ",n-1);
for(int i=0;i<n;i++){
System.out.format(" %d",A[i]);
}
System.out.println();
bit.report();
}
}
輸出：
A[0..4] = 2 3 8 5 6
A from tree= 2 3 8 5 6
T[1..5]= 2 5 8 18 6
sums = 2 5 13 18 24
sum A[0..2]: 13
sum A[1..3]: 16
*****************
A[0..15] = 1 0 2 1 1 3 0 4 2 5 2 2 3 1 0 2
A from tree= 1 0 2 1 1 3 0 4 2 5 2 2 3 1 0 2
T[1..16]= 1 1 2 4 1 4 0 12 2 7 2 11 3 4 0 29
sums = 1 1 3 4 5 8 8 12 14 19 21 23 26 27 27 29
參考資料：
Peter M. Fenwick (1994): A New Data Structure for Cumulative Frequency Tables