數據結構專項之Hash函數

計算理論中，沒有Hash函數的說法，只有單向函數的說法。所謂的單向函數，是一個複雜的定義，大家可以去看計算理論或者密碼學方面的數據。用“人 類”的語言描述單向函數就是：如果某個函數在給定輸入的時候，很容易計算出其結果來；而當給定結果的時候，很難計算出輸入來，這就是單項函數。各種加密函 數都可以被認爲是單向函數的逼近。Hash函數（或者成爲散列函數）也可以看成是單向函數的一個逼近。即它接近於滿足單向函數的定義。

Hash函數還有另外的含義。實際中的Hash函數是指把一個大範圍映射到一個小範圍。把大範圍映射到一個小範圍的目的往往是爲了節省空間，使得數據容易保存。除此以外，Hash函數往往應用於查找上。所以，在考慮使用Hash函數之前，需要明白它的幾個限制：

1. Hash的主要原理就是把大範圍映射到小範圍；所以，你輸入的實際值的個數必須和小範圍相當或者比它更小。不然衝突就會很多。
2. 由於Hash逼近單向函數；所以，你可以用它來對數據進行加密。
3. 不同的應用對Hash函數有着不同的要求；比如，用於加密的Hash函數主要考慮它和單項函數的差距，而用於查找的Hash函數主要考慮它映射到小範圍的衝突率。

應用於加密的Hash函數已經探討過太多了，在作者的博客裏面有更詳細的介紹。所以，本文只探討用於查找的Hash函數。

Hash函數應用的主要對象是數組（比如，字符串），而其目標一般是一個int類型。以下我們都按照這種方式來說明。

一般的說，Hash函數可以簡單的劃分爲如下幾類：
1. 加法Hash；
2. 位運算Hash；
3. 乘法Hash；
4. 除法Hash；
5. 查表Hash；
6. 混合Hash；
下面詳細的介紹以上各種方式在實際中的運用。

一 加法Hash

所謂的加法Hash就是把輸入元素一個一個的加起來構成最後的結果。標準的加法Hash的構造如下：

 static int additiveHash(String key, int prime)
 {
  int hash, i;
  for (hash = key.length(), i = 0; i < key.length(); i++)
   hash += key.charAt(i);
  return (hash % prime);
 }
 這裏的prime是任意的質數，看得出，結果的值域爲[0,prime-1]。

二 位運算Hash

這類型Hash函數通過利用各種位運算（常見的是移位和異或）來充分的混合輸入元素。比如，標準的旋轉Hash的構造如下：

 static int rotatingHash(String key, int prime)
 {
   int hash, i;
   for (hash=key.length(), i=0; i
     hash = (hash<<4>>28)^key.charAt(i);
   return (hash % prime);
 }

先移位，然後再進行各種位運算是這種類型Hash函數的主要特點。比如，以上的那段計算hash的代碼還可以有如下幾種變形：
1.     hash = (hash<<5>>27)^key.charAt(i);
2.     hash += key.charAt(i);
        hash += (hash << 10);
        hash ^= (hash >> 6);
3.     if((i&1) == 0)
        {
         hash ^= (hash<<7>>3);
        }
        else
        {
         hash ^= ~((hash<<11>>5));
        }
4.     hash += (hash<<5>
5.     hash = key.charAt(i) + (hash<<6>>16) – hash;
6.     hash ^= ((hash<<5>>2));

三 乘法Hash

這種類型的Hash函數利用了乘法的不相關性（乘法的這種性質，最有名的莫過於平方取頭尾的隨機數生成算法，雖然這種算法效果並不好）。比如，

 static int bernstein(String key)
 {
   int hash = 0;
   int i;
   for (i=0; i
   return hash;
 }

jdk5.0裏面的String類的hashCode()方法也使用乘法Hash。不過，它使用的乘數是31。推薦的乘數還有：131, 1313, 13131, 131313等等。

使用這種方式的著名Hash函數還有：
 //  32位FNV算法
 int M_SHIFT = 0;
    public int FNVHash(byte[] data)
    {
        int hash = (int)2166136261L;
        for(byte b : data)
            hash = (hash * 16777619) ^ b;
        if (M_SHIFT == 0)
            return hash;
        return (hash ^ (hash >> M_SHIFT)) & M_MASK;
}

以及改進的FNV算法：
    public static int FNVHash1(String data)
    {
        final int p = 16777619;
        int hash = (int)2166136261L;
        for(int i=0;i
            hash = (hash ^ data.charAt(i)) * p;
        hash += hash << 13;
        hash ^= hash >> 7;
        hash += hash << 3;
        hash ^= hash >> 17;
        hash += hash << 5;
        return hash;
}

除了乘以一個固定的數，常見的還有乘以一個不斷改變的數，比如：
    static int RSHash(String str)
    {
        int b    = 378551;
        int a    = 63689;
        int hash = 0;

       for(int i = 0; i < str.length(); i++)
       {
          hash = hash * a + str.charAt(i);
          a    = a * b;
       }
       return (hash & 0x7FFFFFFF);
}

雖然Adler32算法的應用沒有CRC32廣泛，不過，它可能是乘法Hash裏面最有名的一個了。關於它的介紹，大家可以去看RFC 1950規範。

四 除法Hash

除法和乘法一樣，同樣具有表面上看起來的不相關性。不過，因爲除法太慢，這種方式幾乎找不到真正的應用。需要注意的是，我們在前面看到的hash的 結果除以一個prime的目的只是爲了保證結果的範圍。如果你不需要它限制一個範圍的話，可以使用如下的代碼替代”hash%prime”： hash = hash ^ (hash>>10) ^ (hash>>20)。

五 查表Hash

查表Hash最有名的例子莫過於CRC系列算法。雖然CRC系列算法本身並不是查表，但是，查表是它的一種最快的實現方式。下面是CRC32的實現：

static int crctab[256] = {
0x00000000, 0x77073096, 0xee0e612c, 0x990951ba, 0x076dc419, 0x706af48f,  0xe963a535, 0x9e6495a3, 0x0edb8832, 0x79dcb8a4, 0xe0d5e91e, 0x97d2d988,  0x09b64c2b, 0x7eb17cbd, 0xe7b82d07, 0x90bf1d91, 0x1db71064, 0x6ab020f2,  0xf3b97148, 0x84be41de, 0x1adad47d, 0x6ddde4eb, 0xf4d4b551, 0x83d385c7,  0x136c9856, 0x646ba8c0, 0xfd62f97a, 0x8a65c9ec, 0x14015c4f, 0x63066cd9,  0xfa0f3d63, 0x8d080df5, 0x3b6e20c8, 0x4c69105e, 0xd56041e4, 0xa2677172,  0x3c03e4d1, 0x4b04d447, 0xd20d85fd, 0xa50ab56b, 0x35b5a8fa, 0x42b2986c,  0xdbbbc9d6, 0xacbcf940, 0x32d86ce3, 0x45df5c75, 0xdcd60dcf, 0xabd13d59,  0x26d930ac, 0x51de003a, 0xc8d75180, 0xbfd06116, 0x21b4f4b5, 0x56b3c423,  0xcfba9599, 0xb8bda50f, 0x2802b89e, 0x5f058808, 0xc60cd9b2, 0xb10be924,  0x2f6f7c87, 0x58684c11, 0xc1611dab, 0xb6662d3d, 0x76dc4190, 0x01db7106,  0x98d220bc, 0xefd5102a, 0x71b18589, 0x06b6b51f, 0x9fbfe4a5, 0xe8b8d433,  0x7807c9a2, 0x0f00f934, 0x9609a88e, 0xe10e9818, 0x7f6a0dbb, 0x086d3d2d,  0x91646c97, 0xe6635c01, 0x6b6b51f4, 0x1c6c6162, 0x856530d8, 0xf262004e,  0x6c0695ed, 0x1b01a57b, 0x8208f4c1, 0xf50fc457, 0x65b0d9c6, 0x12b7e950,  0x8bbeb8ea, 0xfcb9887c, 0x62dd1ddf, 0x15da2d49, 0x8cd37cf3, 0xfbd44c65,  0x4db26158, 0x3ab551ce, 0xa3bc0074, 0xd4bb30e2, 0x4adfa541, 0x3dd895d7,  0xa4d1c46d, 0xd3d6f4fb, 0x4369e96a, 0x346ed9fc, 0xad678846, 0xda60b8d0,  0x44042d73, 0x33031de5, 0xaa0a4c5f, 0xdd0d7cc9, 0x5005713c, 0x270241aa,  0xbe0b1010, 0xc90c2086, 0x5768b525, 0x206f85b3, 0xb966d409, 0xce61e49f,  0x5edef90e, 0x29d9c998, 0xb0d09822, 0xc7d7a8b4, 0x59b33d17, 0x2eb40d81,  0xb7bd5c3b, 0xc0ba6cad, 0xedb88320, 0x9abfb3b6, 0x03b6e20c, 0x74b1d29a,  0xead54739, 0x9dd277af, 0x04db2615, 0x73dc1683, 0xe3630b12, 0x94643b84,  0x0d6d6a3e, 0x7a6a5aa8, 0xe40ecf0b, 0x9309ff9d, 0x0a00ae27, 0x7d079eb1,  0xf00f9344, 0x8708a3d2, 0x1e01f268, 0x6906c2fe, 0xf762575d, 0x806567cb,
  0x196c3671, 0x6e6b06e7, 0xfed41b76, 0x89d32be0, 0x10da7a5a, 0x67dd4acc,  0xf9b9df6f, 0x8ebeeff9, 0x17b7be43, 0x60b08ed5, 0xd6d6a3e8, 0xa1d1937e,  0x38d8c2c4, 0x4fdff252, 0xd1bb67f1, 0xa6bc5767, 0x3fb506dd, 0x48b2364b,  0xd80d2bda, 0xaf0a1b4c, 0x36034af6, 0x41047a60, 0xdf60efc3, 0xa867df55,  0x316e8eef, 0x4669be79, 0xcb61b38c, 0xbc66831a, 0x256fd2a0, 0x5268e236,  0xcc0c7795, 0xbb0b4703, 0x220216b9, 0x5505262f, 0xc5ba3bbe, 0xb2bd0b28,  0x2bb45a92, 0x5cb36a04, 0xc2d7ffa7, 0xb5d0cf31, 0x2cd99e8b, 0x5bdeae1d,  0x9b64c2b0, 0xec63f226, 0x756aa39c, 0x026d930a, 0x9c0906a9, 0xeb0e363f,  0x72076785, 0x05005713, 0x95bf4a82, 0xe2b87a14, 0x7bb12bae, 0x0cb61b38,  0x92d28e9b, 0xe5d5be0d, 0x7cdcefb7, 0x0bdbdf21, 0x86d3d2d4, 0xf1d4e242,  0x68ddb3f8, 0x1fda836e, 0x81be16cd, 0xf6b9265b, 0x6fb077e1, 0x18b74777,  0x88085ae6, 0xff0f6a70, 0x66063bca, 0x11010b5c, 0x8f659eff, 0xf862ae69,  0x616bffd3, 0x166ccf45, 0xa00ae278, 0xd70dd2ee, 0x4e048354, 0x3903b3c2,  0xa7672661, 0xd06016f7, 0x4969474d, 0x3e6e77db, 0xaed16a4a, 0xd9d65adc,  0x40df0b66, 0x37d83bf0, 0xa9bcae53, 0xdebb9ec5, 0x47b2cf7f, 0x30b5ffe9,  0xbdbdf21c, 0xcabac28a, 0x53b39330, 0x24b4a3a6, 0xbad03605, 0xcdd70693,  0x54de5729, 0x23d967bf, 0xb3667a2e, 0xc4614ab8, 0x5d681b02, 0x2a6f2b94,  0xb40bbe37, 0xc30c8ea1, 0x5a05df1b, 0x2d02ef8d
};
int crc32(String key, int hash)
{
  int i;
  for (hash=key.length(), i=0; i
    hash = (hash >> 8) ^ crctab[(hash & 0xff) ^ k.charAt(i)];
  return hash;
}

查表Hash中有名的例子有：Universal Hashing和Zobrist Hashing。他們的表格都是隨機生成的。

六 混合Hash

混合Hash算法利用了以上各種方式。各種常見的Hash算法，比如MD5、Tiger都屬於這個範圍。它們一般很少在面向查找的Hash函數裏面使用。

七 對Hash算法的評價

http://www.burtleburtle.net/bob/hash/doobs.html 這個頁面提供了對幾種流行Hash算法的評價。我們對Hash函數的建議如下：

1. 字符串的Hash。最簡單可以使用基本的乘法Hash，當乘數爲33時，對於英文單詞有很好的散列效果（小於6個的小寫形式可以保證沒有衝突）。複雜一點可以使用FNV算法（及其改進形式），它對於比較長的字符串，在速度和效果上都不錯。

2. 長數組的Hash。可以使用http://burtleburtle.net/bob/c/lookup3.c這種算法，它一次運算多個字節，速度還算不錯。

八 後記

本文簡略的介紹了一番實際應用中的用於查找的Hash算法。Hash算法除了應用於這個方面以外，另外一個著名的應用是巨型字符串匹配（這時的 Hash算法叫做：rolling hash，因爲它必須可以滾動的計算）。設計一個真正好的Hash算法並不是一件容易的事情。做爲應用來說，選擇一個適合的算法是最重要的。