矩阵的逆

矩阵的逆

在线性代数中，给定一个n阶方阵A，若存在一n阶 方阵 B使得 AB=BA=E （或 AB=E 、 BA=E 任满足一个），其中E为n阶单位矩阵，则称A是可逆的，且B是A的逆阵，记作 A−1 。

若方阵A的逆阵存在，则称A为非奇异方阵或可逆方阵。

矩阵可逆的充分必要条件：

• AB=E ；
• A为满秩矩阵（即r(A)=n ）；
• A的特征值全不为0；
• A的行列式|A|≠0 ，也可表述为A不是奇异矩阵（奇异矩阵即行列式为0的矩阵）；
• A等价于n阶单位矩阵；
• A可表示成初等矩阵的乘积；
• 齐次线性方程组AX=0 仅有零解；
• 非齐次线性方程组AX=b 有唯一解；
• A的行（列）向量组线性无关；

• 任一n维向量可由A的行（列）向量组线性表示。

  其实以上条件全部是等价的。