矩陣的運算

§2  矩陣的運算

一、加法

設  ， 都是 矩陣，則 加法 定義爲

顯然，

①  ，② 

二、數乘

       設  是數， 是 矩陣，則 數乘 定義爲

       顯然

       ①  ， ②  ， ③ 

三、乘法

乘法運算比較複雜，首先看一個例子

設變量  到變量 的線性變換爲

變量  到變量 的線性變換爲

那麼，變量  到變量 的線性變換應爲

即

定義矩陣

 和

的乘積爲

按以上方式定義的乘法具有實際意義。由此推廣得到一般定義

       設  ， ，則乘法定義爲

其中

 ，   

注 ：兩個矩陣相乘要求前一個矩陣的列數等於後一個矩陣的行數；乘積矩陣的行數爲前一個矩陣的行數，列數爲後一個矩陣的列數；乘積矩陣的第  行，第 列元素爲前一個矩陣的第 行元素與後一個矩陣的第 行元素對應相乘再相加。

例 ：設  ， ，則

 

一個必須注意的問題 ：

1．   若  ， ，則 成立，當 時， 不成立；

2．   即使  ， ，則 是 階方陣，而 是 階方陣；

3．   如果  ， 都是 階方陣，例如 ， ，則 ，而 ；

綜上所述，一般  （即矩陣乘法不滿足交換率）。

但是下列性質顯然成立：

①  ，②  ，

③  ，

幾個運算結果：

1 ． 

2 ． 

3 ．若  爲 矩陣， 是 階單位陣，則 ；若 是 階單位陣，則 。

4．   線性變換的矩陣表示：

設  ，

 ， ， ，

則

5．   線性方程組的矩陣表示：

 ，

 ， ，

則

矩陣的 冪：

        ， ， ， 。

例：證明 

證：用歸納法：  時，顯然成立，假定 時成立，則 時

從而結論成立。

由於  是直角座標旋轉 角度變換的係數矩陣，故而 是旋轉了 角度變換的係數矩陣。

四、轉置

設  ，記

則稱  是 的轉置矩陣。

顯然，

①  ，②  ，③  ，④ 

對稱矩陣的定義：若矩陣  滿足 （即 ），則稱 是對稱陣

例 ：設 是 矩陣，證明 是 階對稱陣， 是 階對稱陣。

例 ：設 ，且 ， 爲 階單位陣， ，

證明： ①  是對稱陣，②  。

證 ： ，故 是對稱陣。

 。

五、方陣的行列式

 爲 階方陣，其元素構成的 階行列式稱爲方陣的行列式，記爲  或 。

顯然，

①  ，②  ，③  。

例 ：設

記

 ，

其中  是 的代數餘子式， 稱爲 的伴隨陣。

證明：  。

證：設 

設 

 。

例：設  爲 （ ）階實方陣，且 ， ，求 。

解：注意到

由  ，得 ，    ，

由於  ，故   。

六、共軛矩陣

 爲復矩陣， 爲 的共軛複數，則稱 爲 的共軛矩陣。

顯然，

①  ，②  ，③  。