【劍指offer】_13 圓圈中最後的數

題目描述

年六一兒童節,牛客都會準備一些小禮物去看望孤兒院的小朋友,今年亦是如此。HF作爲牛客的資深元老,自然也準備了一些小遊戲。其中,有個遊戲是這樣的:首先,讓小朋友們圍成一個大圈。然後,他隨機指定一個數m,讓編號爲0的小朋友開始報數。每次喊到m-1的那個小朋友要出列唱首歌,然後可以在禮品箱中任意的挑選禮物,並且不再回到圈中,從他的下一個小朋友開始,繼續0…m-1報數…這樣下去…直到剩下最後一個小朋友,可以不用表演,並且拿到牛客名貴的“名偵探柯南”典藏版(名額有限哦!!^_)。請你試着想下,哪個小朋友會得到這份禮品呢？(注：小朋友的編號是從0到n-1)
如果沒有小朋友，請返回-1

解題思路

我們注意到，輸入的序列在刪除一個元素後，序列的長度會改變，如果索引(數組下標)
在被刪除的元素位置開始計算，那麼每刪除一個元素，序列的長度減一而索引會完全改變。
如果能找到改變前的索引和新索引的對應關係，那麼該問題就容易解決了。

我們定義一個函數f(n, m)，表示每次在n個數字0,1,2,3,…,n-1中每次刪除第m個數字後剩下
的數字。那麼第一個被刪除的數字的索引是(m-1)%n(例如一共有10個孩子，第五個走，那麼走的孩子在數組中的下標爲(5-1)%10=4)。
刪除該索引元素後，剩下的n-1個數字
爲0,1,2,…,k-1,k+1,…,n-1。下次刪除數字是從k+1位置開始，於是可以把序列看作k+1,..,n-1,0,1,…,k-1。該序列最後剩下的序列也是f的函數。但該函數和第一個函數不同，存在映射關係，使用f’來表示，於是有：f(n, m)=f’(n-1, m)。接下來需要找到映射關係。

給出一個序列，從0～n-1編號。其中，k代表出列的序號的下一個，即k-1出列。

a 0, 1, …, k-1, k, k+1, …, n-1

那麼，出列的序號是(m-1)%n，k=m%n（這個可真的是顯而易見）。出列k-1後，序列變爲

b 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1

然後，我們繼續從n-1後延長這個序列，可以得到

c’ 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2

我們取從k開始直到n+k-2這段序列。其實這段序列可以看作將序列b的0~k-2段移到了b序列的後面。這樣，得到一個新的序列

c k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2

好了，整個序列c都減除一個k，得到

d 0, 1, …, n-2

c序列中的n-1, n, n+1都減除個k是什麼？這個不需要關心，反正c序列是連續的，我們知道了頭和尾，就能知道d序列是什麼樣的。
這樣你看，從序列a到序列d，就是一個n序列到n-1序列的變化，約瑟夫環可以通過遞推來獲得最終結果。ok，繼續向下。

剩下的就是根據n-1序列遞推到n序列。假設在n-1序列中，也就是序列d中，我們知道了最終剩下的一個序號是x
往回推

1. d->c，剛纔是同時減了個k，這回再同時加個k，就是x+k；

2. c->b,(x+k)%n。%n以後。k ~ n-1這段序列值不會發生變化，而n~n+k-2這段序列則變成了0～k-2；這兩段序列合起來，就是序列b。

3. x=(x+k)%n。並且，k=m%n，所以x=(x+m%n)%n=(x+m)%n;

4. f[i]=(f[i-1]+m)%i

代碼實現

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n==0)
            return -1;
        if(n==1)
            return 0;
        return (LastRemaining_Solution(n-1,m)+m)%n;
    }
};