【劍指offer】_12 數組中的逆序對

題目描述

在數組中的兩個數字，如果前面一個數字大於後面的數字，則這兩個數字組成一個逆序對。輸入一個數組,求出這個數組中的逆序對的總數P。並將P對1000000007取模的結果輸出。 即輸出P%1000000007

解題思路

劍指offer的解法
看到這個題目，我們的第一反應是順序掃描整個數組。每掃描到一個數組的時候，逐個比較該數字和它後面的數字的大小。如果後面的數字比它小，則這兩個數字就組成了一個逆序對。假設數組中含有n個數字。由於每個數字都要和O(n)這個數字比較，因此這個算法的時間複雜度爲O(n^2)。
我們以數組{7,5,6,4}爲例來分析統計逆序對的過程。每次掃描到一個數字的時候，我們不拿ta和後面的每一個數字作比較，否則時間複雜度就是O(n^2)，因此我們可以考慮先比較兩個相鄰的數字。

(a) 把長度爲4的數組分解成兩個長度爲2的子數組；
(b) 把長度爲2的數組分解成兩個成都爲1的子數組；
© 把長度爲1的子數組 合併、排序並統計逆序對 ；
(d) 把長度爲2的子數組合並、排序，並統計逆序對；
在上圖（a）和（b）中，我們先把數組分解成兩個長度爲2的子數組，再把這兩個子數組分別拆成兩個長度爲1的子數組。接下來一邊合併相鄰的子數組，一邊統計逆序對的數目。在第一對長度爲1的子數組{7}、{5}中7大於5，因此（7,5）組成一個逆序對。同樣在第二對長度爲1的子數組{6}、{4}中也有逆序對（6,4）。由於我們已經統計了這兩對子數組內部的逆序對，因此需要把這兩對子數組 排序 如上圖（c）所示， 以免在以後的統計過程中再重複統計。

接下來我們統計兩個長度爲2的子數組子數組之間的逆序對。合併子數組並統計逆序對的過程如下圖如下圖所示。

我們先用兩個指針分別指向兩個子數組的末尾，並每次比較兩個指針指向的數字。如果第一個子數組中的數字大於第二個數組中的數字，則構成逆序對，並且逆序對的數目等於第二個子數組中剩餘數字的個數，如下圖（a）和（c）所示。如果第一個數組的數字小於或等於第二個數組中的數字，則不構成逆序對，如圖b所示。每一次比較的時候，我們都把較大的數字從後面往前複製到一個輔助數組中，確保 輔助數組（記爲copy） 中的數字是遞增排序的。在把較大的數字複製到輔助數組之後，把對應的指針向前移動一位，接下來進行下一輪比較。

過程：先把數組分割成子數組，先統計出子數組內部的逆序對的數目，然後再統計出兩個相鄰子數組之間的逆序對的數目。在統計逆序對的過程中，還需要對數組進行排序。如果對排序算法很熟悉，我們不難發現這個過程實際上就是歸併排序。

代碼實現

class Solution {
public:
    int InversePairs(vector<int> data) {
       int length=data.size();
        if(length<=0)
            return 0;
       //vector<int> copy=new vector<int>[length];
       vector<int> copy;
       for(int i=0;i<length;i++)
           copy.push_back(data[i]);
       long long count=InversePairsCore(data,copy,0,length-1);
       //delete[]copy;
       return count%1000000007;
    }
    long long InversePairsCore(vector<int> &data,vector<int> &copy,int start,int end)
    {
       if(start==end)
          {
            copy[start]=data[start];
            return 0;
          }
       int length=(end-start)/2;
       long long left=InversePairsCore(copy,data,start,start+length);
       long long right=InversePairsCore(copy,data,start+length+1,end); 
        
       int i=start+length;
       int j=end;
       int indexcopy=end;
       long long count=0;
       while(i>=start&&j>=start+length+1)
          {
             if(data[i]>data[j])
                {
                  copy[indexcopy--]=data[i--];
                  count=count+j-start-length;          //count=count+j-(start+length+1)+1;
                }
             else
                {
                  copy[indexcopy--]=data[j--];
                }          
          }
       for(;i>=start;i--)
           copy[indexcopy--]=data[i];
       for(;j>=start+length+1;j--)
           copy[indexcopy--]=data[j];       
       return left+right+count;
    }
};