求兩個字符串的最長公共子串，最長公共子序列，編輯距離

(1)    找出兩個字符串的最長公共子串

題目：輸入兩個字符串，找出兩個字符串中最長的公共子串。

找兩個字符串的最長公共子串，這個子串要求在原字符串中是連續的。因此我們採用一個二維矩陣來存儲中間結果，下面我們看這個二維數組如何構造？

假設兩個字符串分別是：”bab”和”caba”。

如果str[i] == str[j] 則matrix[i][j] = 1，否則matrix[i][j] = 0

然後我們從矩陣中找出斜對角線最長的那個子字符串，就是最長公共子串。

即”ab”和”ba”分別爲2。

我們可以簡化一下，在當我們計算matrix[i][j]時，我們判斷str[i] == str[j] 和matrix[i-1][j-1]。

如果str[i] == str[j]，則matrix[i][j] = matrix[i-1][j-1] + 1；否則matrix[i][j] = 0。

如下圖所示：

所以此時，我們只是將matrix[M][N]中，找到最大的值，即爲最長公共子串。

然後我們還可以簡化一下空間複雜度。

因爲我們每判斷一個matrix[i][j]時，實際上它只與matrix[i-1][j-1]相關。故所以我們可以使用一維數組來保存上一次的結果。

實現代碼如下：

#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

int GetLongestCommonSubString(const char *pStr1, const char *pStr2)
{
	/* 判斷參數合法性 */
	if (pStr1 == NULL || pStr2 == NULL)
	{
		return -1;
	}

	int n = strlen(pStr1);
	int m = strlen(pStr2);
	int longestCommonSubString = 0;

	/* 申請輔助空間，並初始化爲0 */
	int *LCS = new int[m];
	for (int i = 0; i < m; i++)
	{
		LCS[i] = 0;
	}

	/* 不斷判斷pStr[i] ?= pStr[j]，然後根據不同情況來更新LCS */
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = m - 1; j >= 0; j--)
		{
			if (pStr1[i] == pStr2[j])	/* 如果pStr1[i] == pStr2[j]，LCS[j] = LCS[j-1] + 1 */
			{
				if (j == 0)
				{
					LCS[j] = 1;
				}
				else
				{
					LCS[j] = LCS[j-1] + 1;
				}
			}
			else						/* 如果pStr1[i] != pStr2[j]，LCS[j] = 0 */
			{
				LCS[j] = 0;
			}

			/* 更新最長子串的長度 */
			if (LCS[j] > longestCommonSubString)
			{
				longestCommonSubString = LCS[j];
			}
		}
	}

	delete LCS;
	LCS = NULL;

	return longestCommonSubString;
}

void Test(const char *testName, const char *pStr1, const char *pStr2, int expectedLongestCommonSubString)
{
	cout << testName << " : ";
	if (GetLongestCommonSubString(pStr1, pStr2) == expectedLongestCommonSubString)
	{
		cout << "Passed." << endl;
	}
	else
	{
		cout << "Failed." << endl;
	}
}

int main()
{
	Test("Test1", "caba", "bab", 2);
	Test("Test2", "abcd", "efg", 0);
	Test("Test3", "abcde", "abcde", 5);
}

(2)    找出兩個字符串的最長公共子序列

題目：輸入兩個字符串，求兩個字符串的最長公共子序列。

首先，最長公共子序列與最長公共子串不同，子序列不要求其在原字符串是連續的。例如字符串X={A,B,C,B,D,A,B}，Y = {B,D,C,A,B,A}，則X與Y的最長公共子序列爲Z={B,C,B,A}。

我們假設X={x1, x2, x3, …, xm}，則X的前綴，Xi = {x1, x2, … ,xi}。即X={A,B,C,B,D,A,B}，X4={A,B,C,B}。

Y = {y1, y2, y3, … ,yn}，則Z={z1, z2, …,zk} 是X和Y的最長公共子序列。

如果xm == yn, 則zk = xm =yn 並且 Zk-1 是Xm-1 和 Yn-1的最長公共子序列。

如果 xm != yn, 則zk != xm，並且Z是Xm-1和Yn的最長公共子序列。

如果 xm != yn, 則zk != yn，並且Z是xm 和Yn-1的最長公共子序列。

所以我們定義了C[i][j]二維數組，用來存儲Xi和Yj的最長公共子序列。

                            0                                  如果i==0或者j==0

即C[i][j] =           c[i-1][j-1] + 1               如果i,j > 0並且 xi == yj

                            Max(c[i][j-1],c[i-1][j])  如果i,j > 0 並且xi != yj

實現代碼如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;

int max(int a, int b)
{
	return a > b ? a : b;
}

int GetLongestCommonSequence(const char *pStr1, const char *pStr2)
{
	/* 判斷參數的合法性 */
	if (pStr1 == NULL || pStr2 == NULL)
	{
		return -1;
	}

	int m = strlen(pStr1);
	int n = strlen(pStr2);

	/* 申請二維空間LCS[m+1][n+1] */
	int **LCS = new int*[m+1];
	for (int i = 0; i < m + 1; i++)
	{
		LCS[i] = new int[n+1];
	}

	/* 分別對LCS[i][0], LCS[0][j]賦值爲0 */
	for (int i = 0; i < m+1; i++)
	{
		LCS[i][0] = 0;
	}
	for (int j = 0; j < n+1; j++)
	{
		LCS[0][j] = 0;
	}

	/* 分別遍歷兩個字符串，並更新LCS[i][j] */
	for (int i = 1; i < m+1; i++)
	{
		for (int j = 1; j < n+1; j++)
		{
			if (pStr1[i-1] == pStr2[j-1])
			{
				LCS[i][j] = LCS[i-1][j-1] + 1;
			}
			else
			{
				LCS[i][j] = max(LCS[i-1][j], LCS[i][j-1]);
			}
		}
	}

	/* 獲取最長公共子序列 */
	int longestCommonSequence = LCS[m][n];

	/* 刪除動態空間 */
	for (int i = 0; i < m + 1; i++)
	{
		delete [] LCS[i];
		LCS[i] = NULL;
	}	
	delete []LCS;
	LCS = NULL;

	/* 返回最長公共子序列 */
	return longestCommonSequence;
}

void Test(const char *testName, const char *pStr1, const char *pStr2, int expectedLongestCommonSequence)
{
	cout << testName << " : ";
	if (GetLongestCommonSequence(pStr1, pStr2) == expectedLongestCommonSequence)
	{
		cout << "Passed." << endl;
	}
	else
	{
		cout << "Failed." << endl;
	}
}

int main()
{
	Test("Test1", "ABCBDAB", "BDCABA", 4);
	Test("Test2", "A", "A", 1);
	Test("Test3", "AB", "BC", 1);
}

(3)    求兩個字符串的編輯距離

問題：輸入兩個字符串，求它們的最短編輯距離。

我們定義了一套操作方法來把兩個不同的字符串變得相同，具體的操作方法是：

1.      修改一個字符（如把“a”替換爲“b”）

2.      增加一個字符（如把“abdd”變成“aebdd”）

3.      刪除一個字符（如把“travelling”變成“traveling”）

我們每執行上述一個步驟，則它們之間的編輯距離加1.

 我們同樣定義一個二維數組，C[i][j]表示字符串Xi和字符串Yi的最短編輯距離。

C[i][j] = min{C[i-1][j] + 1, C [i][j-1] + 1,C [i-1][j-1]+ 1(xi != yj), C[i-1][j-1](xi = yj)}。

實現代碼如下：

#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

int min(int a, int b, int c)
{
	int min = a;
	if (min > b)
	{
		min = b;
	}
	if (min > c)
	{
		min = c;
	}
	return min;
}

int GetLeastestEditDistance(const char *pStr1, const char *pStr2)
{
	if (pStr1 == NULL || pStr2 == NULL)
	{
		return -1;
	}

	int m = strlen(pStr1);
	int n = strlen(pStr2);

	/* 申請動態空間LED[m+1][n+1] */
	int **LED = new int *[m+1];
	for (int i = 0; i < m+1; i++)
	{
		LED[i] = new int[n+1];
	}

	/* 賦值LED[i][0] = i， LED[0][j] = j */
	for (int i = 0; i < m+1; i++)
	{
		LED[i][0] = i;
	}
	for (int j = 0; j < n+1; j++)
	{
		LED[0][j] = j;
	}

	/* 計算LED[i][j] */
	for (int i = 1; i < m+1; i++)
	{
		for (int j = 1; j < n+1; j++)
		{
			if (pStr1[i-1] == pStr2[j-1])
			{
				LED[i][j] = min(LED[i-1][j-1], LED[i-1][j] + 1, LED[i][j-1] + 1);
			}
			else
			{
				LED[i][j] = min(LED[i-1][j-1]+1, LED[i-1][j] + 1, LED[i][j-1] + 1);
			}
		}
	}

	/* 獲得最小的編輯距離 */
	int leastestEditDistance = LED[m][n];

	/* 釋放動態空間 */
	for (int i = 0; i < m+1; i++)
	{
		delete [] LED[i];
		LED[i] = NULL;
	}
	delete []LED;
	LED = NULL;

	/* 返回最小編輯距離 */
	return leastestEditDistance;
}

void Test(const char *testName, const char *pStr1, const char *pStr2, int expectedLeastestEditDistance)
{
	cout << testName << " : ";
	if (GetLeastestEditDistance(pStr1, pStr2) == expectedLeastestEditDistance)
	{
		cout << "Passed." << endl;
	}
	else
	{
		cout << "Failed." << endl;
	}
}

int main()
{
	Test("Test1", "a", "b", 1);
	Test("Test2", "abdd", "aebdd", 1);
	Test("Test3", "travelling", "traveling", 1);
	Test("Test4", "abcd", "abcd", 0);
	Test("Test5", NULL, NULL, -1);
}