每次到了晚上都無法靜下心來寫題目，不如寫篇博客，總結一天的學習。
今天一天，首先回顧了昨晚Codeforces的幾道題目。恕本蒟蒻太菜，實在無法寫出來後面兩道題目。
然後偶然發現很久之前的一道題目還沒寫，就順手寫了。然後便開始了今天的學習。
今天主要學習的問題是連通圖的一些問題。
第一個問題就是強連通分量的求解。這一部分事實上我看了挺多的博客還有資料都沒有看的太懂，最後跟着某篇博客裏面的模板敲了一遍Tarjan算法。算是稍微懂了一些。
對於強連通分量的問題，本來我只能夠用最暴力的方法寫出來，是不是正確的還不好說，但是時間複雜度確實是相當的高的。而Tarjan算法，能夠在O(V+E)的時間複雜度裏面求解出強連通分量。不得不說真是非常神奇。
說起來強聯通分量的問題也是深度優先搜索的一個應用吧。
設兩個數組，dfn[i]和low[i]分別表示圖的第i個點被訪問的次序和第i個點能夠回退到的最小的一個點。
關於這部分的解釋這個博客說的的確還是很可以的。最起碼我大概是理解了一些...
然後通過dfs搜索，就可以求出來強連通分量。
然後就是題目，今天做了兩題關於強連通分量的題目，
一題是hdu 1269。
中文題直接上代碼了。
#include <stack>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 10005;
const int maxm = 100005;
typedef struct node {
int to, nxt;
node(int a = 0, int b = 0) {
to = a; nxt = b;
}
}Edge;
stack<int> s; //存儲已遍歷的節點
Edge edge[maxm]; //鏈式前向星存儲邊的信息
int tot, head[maxn]; //鏈式前向星存儲邊的信息
int InComponet[maxn]; //記錄每個點在哪個強聯通分量中
vector<int> Componet[maxn]; //記錄強聯通分量結果
int n, m, index, ComponetNumber; //點的數量、邊的數量、索引號、強聯通分量數目
int dfn[maxn], low[maxn], inStack[maxn]; //深度優先搜索訪問次序、能追溯到的最早的次序、檢查是否在棧中（0代表不在，1代表訪問過且不在棧中，2代表在棧中）
void add(int u, int v) {
edge[tot] = Edge(v, head[u]);
head[u] = tot++;
}
void init() {
tot = 0;
while (!s.empty()) s.pop();
memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
memset(low, 0, sizeof(low));
memset(head, -1, sizeof(head));
for (int i = 0; i < maxn; ++i)
Componet[i].clear();
index = ComponetNumber = 0;
}
void tarjan(int u) {
s.push(u);
inStack[u] = 2;
low[u] = dfn[u] = ++index;
for (int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt) {
int v = edge[i].to;
if (!dfn[v]) {
tarjan(v);
low[u] = min(low[u], low[v]);
} else if(inStack[v] == 2) {
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
if (low[u] == dfn[u]) {
++ComponetNumber;
while (!s.empty()) {
int v = s.top(); s.pop();
inStack[v] = 1;
Componet[ComponetNumber].push_back(v);
InComponet[v] = ComponetNumber;
if (v == u) break;
}
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
int a, b;
while (cin >> n >> m) {
if (!n && !m) break; init();
for (int i = 0; i < m; ++i) {
cin >> a >> b;
add(a, b);
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (!dfn[i]) tarjan(i);
}
if (ComponetNumber > 1) cout << "No" << endl;
else cout << "Yes" << endl;
}
return 0;
}一題是poj 1236。
給出n個學校和一些學校之間的網絡鏈接關係，學校之間的網絡是單向邊，讓你求出兩個問題的答案，1.至少需要多少份軟件，使得所有學校都可以收到。2.如果希望用一份軟件就能夠使所有學校收到需要添加幾條邊。
代碼：
#include <stack>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 105;
const int maxm = maxn * maxn;
typedef struct node {
int to, nxt;
node(int a = 0, int b = 0) {
to = a; nxt = b;
}
}Edge;
stack<int> s; //存儲已遍歷的節點
Edge edge[maxm]; //鏈式前向星存儲邊的信息
int tot, head[maxn]; //鏈式前向星存儲邊的信息
int InComponet[maxn]; //記錄每個點在哪個強聯通分量中
int in[maxn], out[maxn]; //記錄縮點後各個強連通分量的出度和入度
vector<int> Componet[maxn]; //記錄強聯通分量結果
int n, m, index, ComponetNumber; //點的數量、邊的數量、索引號、強聯通分量數目
int dfn[maxn], low[maxn], inStack[maxn]; //深度優先搜索訪問次序、能追溯到的最早的次序、檢查是否在棧中（0代表不在，1代表訪問過且不在棧中，2代表在棧中）
void add(int u, int v) {
edge[tot] = Edge(v, head[u]);
head[u] = tot++;
}
void init() {
tot = 0;
while (!s.empty()) s.pop();
memset(in, 0, sizeof(in));
memset(out, 0, sizeof(out));
memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
memset(low, 0, sizeof(low));
memset(head, -1, sizeof(head));
for (int i = 0; i < maxn; ++i)
Componet[i].clear();
index = ComponetNumber = 0;
}
void tarjan(int u) {
s.push(u);
inStack[u] = 2;
low[u] = dfn[u] = ++index;
for (int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt) {
int v = edge[i].to;
if (!dfn[v]) {
tarjan(v);
low[u] = min(low[u], low[v]);
} else if(inStack[v] == 2) {
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
if (low[u] == dfn[u]) {
++ComponetNumber;
while (!s.empty()) {
int v = s.top(); s.pop();
inStack[v] = 1;
Componet[ComponetNumber].push_back(v);
InComponet[v] = ComponetNumber;
if (v == u) break;
}
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
int a;
while (cin >> n) {
init();
for (int i = 1; i <= n; ++i)
while (cin >> a && a) add(i, a);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (!dfn[i]) tarjan(i);
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = head[i]; ~j; j = edge[j].nxt) {
int v = edge[j].to;
if (InComponet[i] != InComponet[v]) {
++in[InComponet[v]];
++out[InComponet[i]];
}
}
}
int mx1 = 0, mx2 = 0;
for (int i = 1; i <= ComponetNumber; ++i) {
if (!in[i]) ++mx1;
if (!out[i]) ++mx2;
}
if (ComponetNumber == 1) {
cout << "1\n0\n";
} else {
cout << mx1 << endl << max(mx1, mx2) << endl;
}
}
return 0;
}學習的第二個問題是關於割點的，給出一幅圖，求出割點的個數。
算法大體上跟Tarjan算法差不多，還是一個dfn數組一個low數組。表示的信息也是差不多的。
但是想要找到割點，首先需要知道深度優先搜索生成樹。（一臉懵逼
這部分嘛。推薦王桂平的《圖論算法理論、實現及應用》裏面的介紹。
在找到深度優先搜索生成樹之後，只需要找到是生成樹的根節點且孩子個數>=2的節點，或者不是生成樹的根節點，但是刪除這個節點之後，任意一個該節點的孩子節點無法到達該節點的祖先節點。
知道這個判定之後，就可以根據dfn數組和low數組求解了。
這個問題目前只做了一道題目。
UVA 315 Network
題目大意：就是求割點的個數。
代碼：
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef struct node {
int v, nxt;
node(int a = 0, int b = 0) {
v = a; nxt = b;
}
}Edge;
const int maxn = 105;
const int maxm = 2 * maxn * maxn;
int inx;
Edge edge[maxm];
bool judge[maxn];
int tot, head[maxn];
int low[maxn], dfn[maxn];
void add(int u, int v) {
edge[tot] = Edge(v, head[u]);
head[u] = tot++;
edge[tot] = Edge(u, head[v]);
head[v] = tot++;
}
void init() {
tot = inx = 0;
memset(low, 0, sizeof(low));
memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
memset(head, -1, sizeof(head));
memset(judge, false, sizeof(judge));
}
void tarjan(int x, int pre) {
int v, ret = 0;
dfn[x] = low[x] = ++inx;
for (int i = head[x]; ~i; i = edge[i].nxt) {
v = edge[i].v;
if (v == pre) continue;
if (!dfn[v]) {
++ret;
tarjan(v, x);
low[x] = min(low[x], low[v]);
if (x != pre && low[v] >= dfn[x]) judge[x] = true;
} else if (low[x] > dfn[v]) {
low[x] = dfn[v];
}
}
if (x == pre && ret > 1) judge[x] = true;
}
int main() {
char op;
int a, b, n;
while (~scanf("%d", &n) && n) {
init();
while (~scanf("%d", &a) && a) {
while (~scanf("%d%c", &b, &op)) {
add(a, b);
if (op == '\n') break;
}
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (!dfn[i]) tarjan(i, i);
}
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (judge[i]) ++ans;
}
cout << ans << "\n";
}
return 0;
}解題思路：就是求割點的模板題目，直接套模板就好。
另外還有一個求無向圖的割邊問題，但是因爲到了晚上，沒有去學習，所以今天就不再說了。明天學習之後再加上。