針對毫米波蜂窩系統的信道估計和混合預編碼:Channel Estimation and Hybrid Precoding for Millimeter Wave Cellular Systems

《Channel Estimation and Hybrid Precoding for Millimeter Wave Cellular Systems》
本文地址：https://arxiv.org/abs/1401.7426

問題背景

  由於在毫米波段大量可用的頻率資源，使得毫米波蜂窩系統支持Gbit/s的數據速率。爲了實現足夠的鏈路裕度，毫米波系統將在發送端和接收端採用帶有大規模天線陣列的定向波束賦形技術。爲了減小容量混合處理信號帶來的高成本開銷和功耗，mmWave precoding將被分爲模擬域和數字域。大量天線和模擬波束賦形的存在要求提出特定於mmwave的信道估計和預編碼算法。本文利用毫米波信道的低散射性質提出了一種估計毫米波信道參數的自適應算法。使用估計的信道，本文又提出了一種新的混合模擬/數字預編碼算法，它能夠克服模擬波束賦形的硬件限制並且接近數字解決方案的性能。

文章貢獻

• 本文利用了毫米波信道的稀疏特性，利用自適應壓縮感知(CS) 領域的工具，設計了有效的信道估計算法。
• 爲訓練預編碼器設計了一種創新的多分辨率碼本，它依賴於聯合模擬/數字處理來保證不同波束寬度的波束向量，對於所提出的自適應信道估計算法也是至關重要的操作。
• 所提出的信道估計算法能夠以少的迭代數目，高的成功概率估計信道參數。相較於以前的工作（受限於單波束訓練和傳輸），該算法還能估計多徑信道中的信道參數。
• 在單徑信道中，推導了信道估計參數錯誤概率的上界，找到了總訓練功率和它在算法自適應階段的分配的充分條件。
• 針對毫米波信道提出了一種新的混合模擬/數字預編碼算法，該算法的設計僅取決用於直逼信道主奇異值向量的量化波束賦形方向
• 假設BS和MS端採用混合預編碼算法的情況下，對所提出的估計算法進行了性能分析。

系統模型

  考慮如上圖所示的毫米波蜂窩系統，基站端和移動用戶端具體的配置情況如下框圖所示：

  在這樣一個模型下，信道$\mathbf{H}$可以描述爲：
$\mathbf{H}=\sqrt{\frac{N_{\mathrm{BS}} N_{\mathrm{MS}}}{\rho}} \sum_{\ell=1}^{L} \alpha_{\ell} \mathbf{a}_{\mathrm{MS}}\left(\theta_{\ell}\right) \mathbf{a}_{\mathrm{BS}}^{H}\left(\phi_{\ell}\right)$
  其中$\rho$代表了從BS到MS的平均路徑損耗，$\alpha_{\ell}$是$\ell^{t h}$路徑的復增益，路徑振幅服從瑞麗分佈，即$\alpha_{\ell} \sim \mathcal{N}\left(0, \overline{P}_{R}\right)$，$\ell=1,2, \ldots, L$且$\overline{P}_{R}$是平均功率增益。$\phi_{\ell} \in[0,2 \pi]$和$\theta_{\ell} \in[0,2 \pi]$分別是$\ell^{\text { th }}$徑BS端離開和MS端到達的方位角（AoDs/AoAs）。文中假設使用的是均勻直線陣，即：$\mathbf{a}_{\mathrm{BS}}\left(\phi_{\ell}\right)=\frac{1}{\sqrt{N_{\mathrm{BS}}}}\left[1, e^{j(2 \pi / \lambda) d \sin \left(\phi_{t}\right)}, \ldots, e^{j\left(N_{\mathrm{BS}}-1\right)(2 \pi / \lambda) d \sin \left(\phi_{t}\right)}\right]^{T}$
  $\mathbf{H}$可以表示爲如下的一個等價形式：$\mathbf{H}=\mathbf{A}_{\mathrm{MS}} \operatorname{diag}(\boldsymbol{\alpha}) \mathbf{A}_{\mathrm{BS}}^{H}$
  其中：$\boldsymbol{\alpha}=\sqrt{N_{\mathrm{BS}} N_{\mathrm{MS}} / \rho}\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{L}\right]^{T}$，$\mathbf{A}_{\mathrm{BS}}=\left[\mathbf{a}_{\mathrm{BS}}\left(\phi_{1}\right), \mathbf{a}_{\mathrm{BS}}\left(\phi_{2}\right), \ldots, \mathbf{a}_{\mathrm{BS}}\left(\phi_{L}\right)\right]$，$\mathbf{A}_{\mathrm{MS}}=\left[\mathbf{a}_{\mathrm{MS}}\left(\theta_{1}\right), \mathbf{a}_{\mathrm{MS}}\left(\theta_{2}\right), \ldots, \mathbf{a}_{\mathrm{MS}}\left(\theta_{L}\right)\right]$。

毫米波信道估計問題的公式化

  上一節對毫米波信道做了一個簡要的介紹，後面的章節將主要針對信道估計問題的公式化表達，同時採用基於自適應CS的算法去解決這一問題。對於前面提到的這樣一個毫米波信道的幾何模型，信道估計相當於估計$L$條信道路徑的不同參數，即：AoAs、AoDs、$\alpha_{\ell}$。歸根結底，就是如何以一個較小的訓練開銷獲得較爲精確的信道參數。本文通過利用毫米波信道的低散射特性並將毫米波信道估計問題表示爲一個稀疏問題。自適應CS激發了一些關於如何設計訓練precoders和combiner的想法，也就是接下來要介紹的針對訓練波束向量的分層多分辨率碼本。

A.毫米波信道估計問題的稀疏表達

  在BS端使用一個波束向量$\mathbf{f}_{p}$，在MS端使用一個測量向量$\mathbf{w}_{q}$合併接收到的信號，因此得到的信號可以表示爲：$y_{q, p}=\mathbf{w}_{q}^{H} \mathbf{H} \mathbf{f}_{p} s_{p}+\mathbf{w}_{q}^{H} \mathbf{n}_{q, p}$  $\mathcal{s}_{p}$是在波束向量$\mathbf{f}_{p}$上的發送信號，滿足$\mathbb{E}\left[s_{p} s_{p}^{H}\right]=P$，$P$是訓練階段被用於每次傳輸的平均個功率。現在在進一步的推廣，假設在MS端向量$\mathbf{w}_{q}$使用了$M_{\mathrm{MS}}$個這樣的測量向量，即：$q=1,2, \dots, M_{\mathrm{MS}}$，用於連續瞬間檢測通過波束成形向量$\mathbf{f}_{p}$傳輸的信號，在連續的$M_{\mathrm{BS}}$個時間段裏使用$M_{\mathrm{BS}}$個這樣的波束成形向量$\mathbf{f}_{p}$，$p=1, \dots, M_{\mathrm{BS}}$。整個過程就可以表示爲：$\mathbf{Y}=\mathbf{W}^{H} \mathbf{H F S}+\mathbf{Q}$其中：$\mathbf{F}=\left[\mathbf{f}_{1}, \mathbf{f}_{2}, \ldots, \mathbf{f}_{M_{\mathrm{BS}}}\right]$是被用在BS端大小爲$N_{\mathrm{BS}} \times M_{\mathrm{BS}}$波束成形向量，$\mathbf{Q}$是把$M_{\mathrm{BS}}$個噪聲向量串聯在一起的噪聲矩陣，$\mathbf{S}$是攜帶$M_{\mathrm{BS}}$個傳輸符號的對角陣。在訓練階段，假定所有的傳輸符號都是相同的，也就是$\mathbf{S}=\sqrt{P} \mathbf{I}_{M_{\mathrm{BS}}}$，因此可以進一步簡化爲：$\mathbf{Y}=\sqrt{P} \mathbf{W}^{H} \mathbf{H F}+\mathbf{Q}$將$\mathbf{Y}$向量化，然後做一系列的數學推導可以得到最終的如下形式$\mathbf{y}_{v}=\sqrt{P}\left(\mathbf{F}^{T} \otimes \mathbf{W}^{H}\right)\left(\mathbf{A}_{\mathrm{BS}}^{*} \circ \mathbf{A}_{\mathrm{MS}}\right) \boldsymbol{\alpha}+\mathbf{n}_{\mathrm{Q}}$(多說一句：‘’$\circ$‘’是Khatri-Rao 積，$\mathbf{A}_{\mathrm{BS}}^{*} \circ \mathbf{A}_{\mathrm{MS}}$是大小爲$N_{\mathrm{BS}} N_{\mathrm{MS}} \times L$的矩陣，它的每一列由$\mathbf{a}_{\mathrm{BS}}^{*}\left(\phi_{\ell}\right) \otimes \mathbf{a}_{\mathrm{MS}}\left(\theta_{\ell}\right)$（$\ell=1,2, \ldots, L$）組成，也就是說每一列與第$\ell$條徑的AoA/AoD相關)
  假設AoAs和AoDs取自均勻網格中的$N$點，即：$\phi_{\ell}, \theta_{\ell} \in\{0,2 \pi / N, \ldots, 2 \pi(N-1) / N\}, \ell=1,2, \ldots, L$（注意：AoDs/AoAs實際上是連續的，一些基於網格外的算法可以減少這種量化誤差，這裏只考慮量化的AoDs/AoAs的情況）忽略了網格的量化誤差，$\mathbf{y}_{v}$可以表示爲：
$\mathbf{y}_{v}=\sqrt{P}\left(\mathbf{F}^{T} \otimes \mathbf{W}^{H}\right) \mathbf{A}_{\mathrm{D}} \mathbf{z}+\mathbf{n}_{\mathrm{Q}}$特別解釋一下：$\mathbf{A}_{\mathrm{D}}$是一個$N_{\mathrm{BS}} N_{\mathrm{MS}} \times N^{2}$的字典矩陣，由上面所說的均勻網格上$N$個點構成。$\mathbf{z}$是一個$N^{2} \times 1$的向量，它攜帶了關於量化方向上的路徑增益。（更明確的說：其實$\mathbf{z}$的$L$個非0元素就代表了信道的主要路徑且$L \ll N^{2}$，得到了它就得到了路徑增益）。
  到現在，這個稀疏問題就很明確了，CS的工具就可以用來設計信道估計算法來決定量化的AoAs/AoDs。定義感知矩陣$\boldsymbol{\Psi}=\left(\mathbf{F}^{T} \otimes \mathbf{W}^{H}\right) \mathbf{A}_{\mathrm{D}}$，CS算法的目標就是有效地設計感知矩陣保證能以較高的概率、較少的測量次數恢復向量$\mathbf{z}$的非0元素。爲了簡化，進一步使用克羅內克積的性質，將該問題寫爲：$\begin{aligned} \mathbf{y}_{v} &=\sqrt{P}\left(\mathbf{F}^{T} \mathbf{A}_{\mathrm{BS}, \mathrm{D}}^{*} \otimes \mathbf{W}^{H} \mathbf{A}_{\mathrm{MS}, \mathrm{D}}\right) \mathbf{z}+\mathbf{n}_{\mathrm{Q}} \\ &=\sqrt{P} \mathbf{F}^{T} \mathbf{A}_{\mathrm{BS}, \mathrm{D}}^{*} \mathbf{Z}_{\mathrm{BS}} \otimes \mathbf{W}^{H} \mathbf{A}_{\mathrm{MS}, \mathrm{D}} \mathbf{z}_{\mathrm{MS}}+\mathbf{n}_{\mathrm{Q}} \end{aligned}$其中，$\mathbf{z}_{\mathrm{BS}}$和$\mathbf{z}_{\mathrm{MS}}$是兩個$N \times 1$的稀疏向量，它們非0元素的位置與AoDs和AoAs相關。$\mathbf{A}_{\mathrm{BS}, \mathrm{D}}$和$\mathbf{A}_{\mathrm{MS}, \mathrm{D}}$是$N_{\mathrm{BS}} \times N$和$N_{\mathrm{MS}} \times N$的字典矩陣。

B.自適應CS解決方法

  訓練過程被分爲很多階段。每個階段使用的訓練預編碼和測量矩陣不是預先確定的，而是依賴於早期階段的輸出（自適應的思想）。基於二分法的概念，本文自適應地設計了訓練波束成形矢量，經歷多次分割後能夠在較後的階段得到一個較小的劃分直到在要求的分辨率內找到AoAs/AoDs的非0元素。

基於多分辨率分層碼本的混合預編碼

  以前僅模擬的多分辨率碼本在mmWave中受到一些實際的限制

• 量化移相器的存在使得設計非重疊的波束模式變得很困難，在大規模天線的引入後會要求在一個很大的搜索空間內進行搜索。
• 很難應用到非ULAs，由於缺少對他們波束模式的直觀認識。
  下面主要介紹在BS端的訓練預編碼碼本$\mathcal{F}$，同樣的方法是可以用到MS端構造訓練碼本$\mathcal{W}$

A.碼本結構

  簡單說來，分層碼本有$\mathbf{S}$層，$\mathcal{F}_{s}, s=1,2, \ldots, \mathrm{S}$。每一層都包含了具有一定波束寬度的波束向量，它們被用自適應毫米波信道估計算法相關的訓練階段。文中展示了一個$N=256$，$K=2$分層碼本的例子。


從圖中可以看出，在每個碼本層$s$中，波束向量被分爲了$K^{s-1}$個子集，每個子集裏面又含有$K$個波束向量。在每一層的每個子集與唯一的一個AoDs範圍相關聯（說了這麼多，其實就是想表達把0-2π這個範圍等分，隨着層級的增加，分得越細而已）。

B.碼本波束向量的設計

  在每一層碼本$\mathbf{s}$，每個子集$k$中，波束向量$\left[\mathbf{F}_{(s, k)}\right]_{ :, m}, m=1,2, \ldots, K$被設計成如下的形式：
$\left[\mathbf{F}_{(s, k)}\right]_{ ;, m}^{H} \mathbf{a}_{\mathrm{BS}}\left(\overline{\phi}_{u}\right)=\left\{\begin{array}{ll}{C_{s}} & {\text { if } u \in \mathcal{I}_{(s, k, m)}} \\ {0} & {\text { if } u \notin \mathcal{I}_{(s, k, m)}}\end{array}\right.$其中$\mathcal{I}_{(k, s, m)}=\left\{\frac{N}{K^{s}}(K(k-1)+m-1)+1, \ldots, \frac{N}{K^{s}}(K(k-1)+m)\right\}$定義了與波束向量$\left[\mathbf{F}_{(s, k)}\right]_{ :, m}$相關的AoDs子範圍，$C_{s}$是歸一化約束，滿足$\left\|\mathbf{F}_{(s, k)}\right\|_{F}=K$。
  將上述的形式進一步表示爲：
$\mathbf{A}_{\mathrm{BS}, \mathrm{D}}^{H} \mathbf{F}_{(s, k)}=C_{s} \mathbf{G}_{(s, k)}$
其中$\mathbf{G}_{(s, k)}$是一個$N \times K$的矩陣，他的每一列$m$在位置$u, u \in \mathcal{I}_{(s, k, m)}$上包含了1，在$u, u \notin \mathcal{I}(s, k, m)$上是0。這時，對於這樣一個含有過完備字典矩陣$\mathbf{A}_{\mathrm{BS}, \mathrm{D}}$的方程，其近似解爲：$\mathbf{F}_{(s, k)}=C_{s}\left(\mathbf{A}_{\mathrm{BS}, \mathrm{D}} \mathbf{A}_{\mathrm{BS}, \mathrm{D}}^{H}\right)^{-1} \mathbf{A}_{\mathrm{BS}, \mathrm{D}} \mathbf{G}_{(s, k)}$，進一步地，將預編碼矩陣$\mathbf{F}_{(s, k)}$定義爲$\mathbf{F}_{(s, k)}=\mathbf{F}_{\mathrm{RF},(s, k)} \mathbf{F}_{\mathrm{BS},(\mathbf{s}, \mathbf{k})}$因此混合模擬/數字訓練預編碼可以得以實現，通過解決如下的問題：

具體的定義在文中，不做贅述。

針對毫米波信道的自適應估計算法

前面鋪墊了這麼多，終於切入正題。先以一個較爲簡單的單徑情況進行說明：

單徑

  單徑時，對於前面提到的$\mathbf{z}$來說就只剩下一個非0的元素，確定0元素的位置就等於完成了信道估計。爲了以一個較低的訓練開銷完成這個過程，本文針對單徑的信道估計提出了算法1

該算法的具體執行如下：在初始化階段，BS端使用碼本$\mathcal{F}$第一層的$K$個訓練預編碼向量。對於每一個向量，在MS端使用碼本$\mathcal{W}$第一層的$K$個測量向量合併接收信號。以第一階段爲例子：僅有一個子集的波束向量，經過$K^{2}$次預編碼-測量的步驟後，在MS端比較$K^{2}$個接收信號的功率以最大的功率爲準則確定是哪個子集。由於每一個預編碼/測量向量都與一個確定範圍的量化AoA/AoD有關係，第一階段的操作其實是把向量$\mathbf{z}$分成$K^{2}$分區。選擇最大接收功率意味着選擇$\mathbf{z}$的分區，也因此量化AoA/AoD的範圍很大可能地包含了單徑信道。然後利用最大功率問題的輸出來確定$s+1$階段將要使用的$\mathcal{F}$和$\mathcal{W}$的波束子集。（自適應思想的精髓），然後MS端反饋所選擇的BS預編碼器的子集給BS端用於下一階段。因此，波束向量在下一階段將會有一個更高的分辨率。隨着算法階段性的進展，AoA/Aod的範圍也將進一步自適應地精確直到期望的分辨率。
  後續的內容是對單徑的性能進行分析，較爲複雜，感興趣的讀者可以參照原文。

多徑

  本節提出了一種改進的匹配追蹤算法來估計AoAs、AoDs和相關徑的路徑增益。下面做一個簡要的介紹，自適應算法在多徑的情況下是在BS端和MS端使用$K L_{d}$而不是$K$（$L_{d}$是需要求解的主導路徑的數量）個預編碼和測量向量。在每一個階段中，$K L_{d}$個分區的$L_{d}$個被選擇用於下一階段更精細的劃分。下面直接來看算法：

爲了估計$L_{d}$主徑的毫米波信道，算法2要做$L_{d}$次外迭代。在初始化階段，BS端和MS端都使用在碼本中定義的$K L_{d}$波束向量去把AoA和AoD區分爲$K L_{d}$個自範圍，相同於單徑的情況，也是通過選擇最大接收功率來確定信道中$L_{d}$個最有可能攜帶主要路徑的區段，這個過程一直持續至達到要求的分辨率，並且一次迭代只估計一條徑。

混合預編碼設計

毫米波信道估計好後，在BS端和MS端設計混合預編碼器/合併器$\left(\mathbf{F}_{\mathrm{RF}}, \mathbf{F}_{\mathrm{BB}}, \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}, \mathbf{W}_{\mathrm{BB}}\right)$最大限度地利用高斯信號在mmWave鏈路上實現的互信息。估計的信道矩陣可以表示爲：$\hat{\mathbf{H}}=\hat{\mathbf{A}}_{\mathrm{MS}} \operatorname{diag}(\hat{\boldsymbol{\alpha}}) \hat{\mathbf{A}}_{\mathrm{BS}}^{H}$，然後在利用https://zhuyulab.blog.csdn.net/article/details/89785927中的算法就可以完成整個precoding的過程

仿真結果部分參照原文。