前言

混合波束賦形專欄|基於正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit）法的混合波束賦形算法：整理一篇2014年IEEE TWC高引論文，一點拙見，如有偏頗，望不吝賜教，盼即賜復。

文章中心思想

本文利用mmWava信道的稀疏特性將precoding/combining問題表示爲稀疏重構問題，使用基追蹤的原理，提出了一種能夠逼近最優無約束precoder和combiner的算法，它們能夠在低成本射頻硬件中實現。

文章背景

到目前爲止，無線網絡的容量已經隨着數據流量的增加而擴大，這主要是由於區域頻譜效率（bits/s/Hz/m²）的提高。許多物理層的增強如：多天線，信道編碼、干擾協調，以及網絡緻密化的總體趨勢都起到了實現這種頻譜效率的作用。但在物理層似乎沒有什麼進一步提高的空間，而且異構網絡的廣泛部署也不是沒有挑戰，僅憑這些技術可能不足以滿足未來的流量需求。因此，增加商業無線系統可用的頻譜，潛在地通過探索新的、不擁擠的頻譜帶，是一個有希望增加網絡容量的解決方案。
例如，毫米波(mmWave)通信在室內無線系統和室外固定系統中實現了每秒千兆比特的數據速率。mmWave硬件的進步和頻譜的潛在可用性促使無線行業考慮將mmWave用於室外蜂窩系統的接入鏈路。但是mmWave的缺點也是十分明顯的，隨着其頻率的增加，在傳播過程中的路徑損耗十分嚴重，繞射能力差。但是，毫米波天然的波長優勢促使其與大規模天線的結合。大規模天線可以提供克服路徑損耗所需的波束賦形增益，可以對多個數據流進行預編碼，從而提高頻譜效率，使系統接近容量。
無論載波頻率如何，預編碼的基本原理是相同的，而mmWave系統中的信號處理受到一系列非平凡的實際約束。例如：傳統的MIMO處理通常是在基帶實現的，它能夠控制信號的相位和幅值。然而，數字處理要求爲每個天線元件配置專用的基帶和射頻硬件。遺憾的是，由於mmWave混合信號處理硬件的高成本和高功耗，目前還無法實現這種全數字結構，迫使mmWave系統嚴重依賴模擬或射頻處理。Analog precoding通常使用移相器實現，它對RF precoder施加恆模約束。雖然其實現較爲簡單，功耗較低，但是它能夠提供的陣列增益有限，性能較差。針對這種情況，Hybrid Beamforming(HBF)能夠很好的解決這一問題。以發送端爲例，它將整個Beamforming分爲一個低維度的基帶digtial precoder和高維度的analog precoder。這種結構能夠大大的減少硬件開銷，並且接近Full Digital Beamforming的性能。

全文概覽

系統模型

考慮上圖所示的單用戶mmWave系統，具有 $N_{\mathrm{t}}$ 根天線的發射端同具有 $N_{\mathbf{r}}$ 根天線的接收端通信 $N_{\mathrm{s}}$ 個數據流。爲了支持多流通信，發送端配置有 $N_{\mathrm{t}}^{\mathrm{RF}}$ 條射頻鏈，且滿足： $N_{\mathrm{s}} \leq N_{\mathrm{t}}^{\mathrm{RF}} \leq N_{\mathrm{t}}$ 。這種硬件結構使發射機能夠使用大小爲 $N_{\mathrm{t}}^{\mathrm{RF}} \times N_{\mathrm{s}}$ 的digital precoder $\mathbf{F}_{\mathrm{BB}}$ 進行數字波束賦形，通過 $N_{\mathrm{t}}^{\mathrm{RF}}$ 條射頻鏈上變頻後，尾隨一個 $N_{\mathrm{t}} \times N_{\mathrm{t}}^{\mathrm{RF}}$ 的RF precoder $\mathbf{F}_{\mathrm{RF}}$ 進行模擬波束賦形。離散時間發送信號可以表示爲： $\mathbf{x}=\mathbf{F}_{\mathbf{R} \mathbf{F}} \mathbf{F}_{\mathbf{B} \mathbf{B}} \mathbf{S}$ ，其中 $\mathbf{S}$ 是大小爲 $N_{\mathrm{s}} \times 1$ 的符號向量且滿足 $\mathbb{E}\left[\mathbf{s s}^{*}\right]=\frac{1}{N_{\mathbf{s}}} \mathbf{I}_{N_{s}}$ 。由於模擬移相器的使用， $\mathbf{F}_{\mathrm{RF}}$ 受到一個恆模約束，即： $\left(\mathbf{F}_{\mathrm{RF}}^{(i)} \mathbf{F}_{\mathrm{RF}}^{(i) *}\right)_{\ell, \ell}=N_{\mathrm{t}}^{-1}$ ， $(\cdot)_{\ell, \ell}$ 代表一個矩陣的第 $\ell$ 個對角線元素。發送端受到一個個總功率約束： $\left\|\mathbf{F}_{\mathrm{RF}} \mathbf{F}_{\mathrm{BB}}\right\|_{F}^{2}=N_{\mathrm{s}}$ 。
考慮一個分組衰落傳播信道，發送信號可以表示爲： $\mathbf{y}=\sqrt{\rho} \mathbf{H} \mathbf{F}_{\mathrm{RF}} \mathbf{F}_{\mathrm{BB}} \mathbf{s}+\mathbf{n}$ 其中 $\mathbf{H}$ 是大小爲 $N_{\mathrm{r}} \times N_{\mathrm{t}}$ 的信道向量， $\rho$ 代表平均接收功率，加性高斯白噪聲服從 $\mathcal{C} \mathcal{N}\left(0, \sigma_{\mathrm{n}}^{2}\right)$ 分佈。接收端通過Hybrid combining的處理，最後的接收信號可以表示爲 $\widetilde{\mathbf{y}}=\sqrt{\rho} \mathbf{W}_{\mathrm{BB}}^{*} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}^{*} \mathbf{H F}_{\mathrm{RF}} \mathbf{F}_{\mathrm{BB}} \mathbf{S}+\mathbf{W}_{\mathrm{BB}}^{*} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}^{*} \mathbf{n}$ $\mathbf{W}_{\mathrm{RF}}$ 是大小爲 $N_{\mathrm{r}} \times N_{\mathrm{r}}^{\mathrm{RF}}$ 的RF combining矩陣， $\mathbf{W}_{\mathrm{BB}}$ 是大小爲 $N_{\mathrm{r}}^{\mathrm{RF}} \times N_{\mathrm{s}}$ 的基帶digital combining矩陣。 $\mathbf{W}_{\mathrm{RF}}$ 同樣受到一個 $\left(\mathbf{W}_{\mathrm{RF}}^{(i)} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}^{(i) *}\right)_{\ell, \ell}=N_{\mathrm{r}}^{-1}$ 的恆模約束。這樣一個在mmWave信道中高斯信號假設下可實現頻譜效率可以表示爲： $\begin{aligned} R=\log _{2}\left(\left|\mathbf{I}_{N_{\mathrm{s}}}+\frac{\rho}{N_{\mathrm{s}}} \mathbf{R}_{\mathrm{n}}^{-1}\right.\right.& \mathbf{W}_{\mathrm{BB}}^{*} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}^{*} \mathbf{H F}_{\mathrm{RF}} \mathbf{F}_{\mathrm{BB}} \\ \times & \mathbf{F}_{\mathrm{BB}}^{*} \mathbf{F}_{\mathrm{RF}}^{*} \mathbf{H}^{*} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}} \mathbf{W}_{\mathrm{BB}} | ) \end{aligned}$ 其中 $\mathbf{R}_{\mathrm{n}}=\sigma_{\mathrm{n}}^{2} \mathbf{W}_{\mathrm{BB}}^{*} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}}^{*} \mathbf{W}_{\mathrm{RF}} \mathbf{W}_{\mathrm{BB}}$ 。信道矩陣 $\mathbf{H}$ 使用Saleh-Valenzuela模型，其表達式爲： $\mathbf{H}=\gamma \sum_{i, \ell} \alpha_{i \ell} \Lambda_{\mathrm{r}}\left(\phi_{i \ell}^{\mathrm{r}}, \theta_{i \ell}^{\mathrm{r}}\right) \Lambda_{\mathrm{t}}\left(\phi_{i \ell}^{\mathrm{t}}, \theta_{i \ell}^{\mathrm{t}}\right) \mathbf{a}_{\mathrm{r}}\left(\phi_{i \ell}^{\mathrm{r}}, \theta_{i \ell}^{\mathrm{r}}\right) \mathbf{a}_{\mathrm{t}}\left(\phi_{i \ell}^{\mathrm{t}}, \theta_{i \ell}^{\mathrm{t}}\right)^{*}$ 表達式中的參數介紹請參照論文。

Hybrid precoding設計

HBF的設計中需要聯合優化四個變量 $\left(\mathbf{F}_{\mathbf{R F}}, \mathbf{F}_{\mathbf{B B}}, \mathbf{W}_{\mathbf{R F}}, \mathbf{W}_{\mathrm{BB}}\right)$ 的問題，直接求解是很困難的，因此本文將HBF問題解耦成接收端HBF設計和發送端HBF設計。因此，在發送端，使用最大化互信息 $\mathcal{I}\left(\mathbf{F}_{\mathrm{RF}}, \mathbf{F}_{\mathrm{BB}}\right)$ 代替最大化頻譜效率爲目標函數，即： $\mathcal{I}\left(\mathbf{F}_{\mathrm{RF}}, \mathbf{F}_{\mathrm{BB}}\right)=\log _{2}\left(\left|\mathbf{I}+\frac{\rho}{N_{\mathrm{s}} \sigma_{\mathrm{n}}^{2}} \mathbf{H F}_{\mathrm{RF}} \mathbf{F}_{\mathrm{BB}} \mathbf{F}_{\mathrm{BB}}^{*} \mathbf{F}_{\mathrm{RF}}^{*} \mathbf{H}^{*}\right|\right)$
則 $\mathbf{F}_{\mathrm{RF}} \mathbf{F}_{\mathrm{BB}}$ 的最優precoding問題可以描述爲：

博主認爲該文章的亮點之一是，推導了 $\mathcal{I}\left(\mathbf{F}_{\mathrm{RF}}, \mathbf{F}_{\mathrm{BB}}\right)$ 可以近似爲 $\left\|\mathbf{F}_{\mathrm{opt}}-\mathbf{F}_{\mathrm{RF}} \mathbf{F}_{\mathrm{BB}}\right\|_{F}$ （這也作爲了後續一些Hybrid precoding的目標函數，推導過程十分精彩，具體可以參照原文。）因此，最優precoding的問題可以表示爲:

$\color{red}{（本文重頭戲）}$ 爲了使用OMP的算法，作者利用簇信道模型產生mmWave MIMO信道的結構，即以下四點性質：
1.Optimal precoder的結構： $\mathbf{F}_{\mathrm{opt}}=\mathbf{V}_{1}$ ,（ $\mathbf{V}$ 是信道 $\mathbf{H}$ 的SVD分解，且 $\mathbf{V}=\left[ \begin{array}{ll}{\mathbf{V}_{1}} & {\mathbf{V}_{2}}\end{array}\right]$ ），酉矩陣 $\mathrm{V}$ 的列構成信道行空間的一組標準正交基。
2.簇mmWave信道的結構：當 $N_{\mathrm{cl}} N_{\mathrm{ray}} \leq N_{\mathrm{t}}$ 時，陣列響應 $\mathbf{a}_{\mathrm{t}}\left(\phi_{i \ell}^{\mathrm{t}}, \theta_{i \ell}^{\mathrm{t}}\right)$ 線性無關，因此 $\mathbf{a}_{\mathrm{t}}\left(\phi_{i \ell}^{\mathrm{t}}, \theta_{i \ell}^{\mathrm{t}}\right)$ 可以組成信道行空間的另一組最小基（ $N_{\mathrm{cl}} N_{\mathrm{ray}} \leq \min \left(N_{\mathrm{t}}, N_{\mathrm{r}}\right)$ ）。
3. $\mathbf{F}_{\mathrm{opt}}$ 和 $\mathbf{a}_{\mathrm{t}}\left(\phi_{i \ell}^{\mathrm{t}} \theta_{i \ell}^{\mathrm{t}}\right)$ 的聯繫： $\mathbf{F}_{\text { opt }}$ 可以表示爲 $\mathbf{a}_{\mathrm{t}}\left(\phi_{i \ell}^{\mathrm{t}}, \theta_{i \ell}^{\mathrm{t}}\right), \forall i, \ell$ 的線性組合。
4.向量 $\mathbf{a}_{\mathrm{t}}\left(\phi_{i \ell}^{\mathrm{t}} \theta_{i \ell}^{\mathrm{t}}\right)$ 可以作爲 $\mathbf{F}_{\mathrm{RF}}$ 的列：向量 $\mathbf{a}_{\mathrm{t}}\left(\phi_{i \ell}^{\mathrm{t}} \theta_{i \ell}^{\mathrm{t}}\right)$ 是恆模、僅相位變化的向量。因此，mmWave發射端可以在RF上（通過RF precoder $\mathbf{F}_{\mathrm{RF}}$ ）使用 $N_{\mathrm{t}}^{\mathrm{RF}}$ 個 $\mathbf{a}_{\mathrm{t}}\left(\phi_{i \ell}^{\mathrm{t}}, \theta_{i \ell}^{\mathrm{t}}\right)$ 向量，通過它的 $\mathbf{F}_{\mathrm{BB}}$ 形成任意線性組合。也就是說，我們能夠構造一個線性組合，使得 $\left\|\mathbf{F}_{\mathrm{opt}}-\mathbf{F}_{\mathrm{RF}} \mathbf{F}_{\mathrm{BB}}\right\|_{F}$ 最小。
利用上面的四點性質，近似最優hybrid precoders的設計問題可以表示爲：

這相當於使用基向量 $\mathbf{a}_{\mathrm{t}}\left(\phi_{i \ell}^{\mathrm{t}}, \theta_{i, \ell}^{\mathrm{t}}\right)$ 找出 $\mathbf{F}_{\mathrm{opt}}$ 最優低維表示。利用上述的4個性質，precoding問題由選擇“best” $N_{\mathrm{t}}^{\mathrm{RF}}$ 個陣列響應向量和找出最佳基帶組合（也就是 $\mathbf{F}_{\mathrm{BB}}$ ）， $\mathbf{F}_{\mathrm{RF}}^{(i)}$ 的約束可以直接嵌入到優化目標中以得到如下的等價問題：

其中 $\mathbf{A}_{\mathrm{t}}=\left[\mathrm{a}_{\mathrm{t}}\left(\phi_{1,1}^{\mathrm{t}}, \theta_{1,1}^{\mathrm{t}}\right), \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{t}}\left(\phi_{N_{\mathrm{cl}}, N_{\mathrm{rav}}}^{\mathrm{t}} \theta_{N_{\mathrm{cl}}, N_{\mathrm{ray}}}^{\mathrm{t}}\right)\right]$ 是一個大小爲 $N_{\mathrm{t}} \times N_{\mathrm{cl}} N_{\mathrm{ray}}$ 的陣列響應向量矩陣， $\widetilde{\mathbf{F}}_{\mathrm{BB}}$ 是一個大小爲 $N_{\mathrm{cl}} N_{\mathrm{ray}} \times N_{\mathrm{s}}$ 的矩陣。 $\mathbf{A}_{\mathrm{t}}$ 和 $\widetilde{\mathbf{F}}_{\mathrm{BB}}$ 可以視爲一個輔助矩陣，從中我們可以分別獲得 $\mathbf{F}_{\mathrm{RF}}^{\mathrm{opt}}$ 和 $\mathbf{F}_{\mathrm{BB}}^{\mathrm{opt}}$ 。更進一步的解釋：稀疏約束 $\left\|\operatorname{diag}\left(\widetilde{\mathbf{F}}_{\mathrm{BB}} \widetilde{\mathbf{F}}_{\mathrm{BB}}^{*}\right)\right\|_{0}=N_{\mathrm{t}}^{\mathrm{RF}}$ 表示 $\widetilde{\mathbf{F}}_{\mathrm{BB}}$ 不能有超過 $N_{\mathrm{t}}^{\mathrm{RF}}$ 的非0行，這也就意味着，僅當 $\widetilde{\mathbf{F}}_{\mathrm{BB}}$ 的 $N_{\mathrm{t}}^{\mathrm{RF}}$ 行非0時， $\mathbf{A}_{\mathrm{t}}$ 的 $N_{\mathrm{t}}^{\mathrm{RF}}$ 列被有效選擇。因此，基帶digitial precoder $\mathbf{F}_{\mathrm{BB}}^{\mathrm{opt}}$ 由 $\widetilde{\mathbf{F}}_{\mathrm{BB}}^{\mathrm{opt}}$ 的非零行給出，RF precoder $\mathbf{F}_{\mathrm{RF}}^{\mathrm{opt}}$ 由 $\boldsymbol{A}_{\mathrm{t}}$ 與之相關的 $N_{\mathrm{t}}^{\mathrm{RF}}$ 列給出。
博主認爲該文章的亮點之二是：文章將上述聯合設計 $\mathbf{F}_{\mathrm{RF}}$ 和 $\mathbf{F}_{\mathrm{BB}}$ 的問題精彩地轉化爲了一個單變量稀疏約束矩陣重構問題（個人認爲是開山之作的地位）。儘管潛在的動機不同，甚至上面問題中所定義的變量看起來也不是這麼友好（至少博主第一次讀這篇論文的時候覺得怪怪的…很難理解），但所得到的問題的數學表達形式與稀疏信號恢複相關文獻中遇到的優化問題相同。因此，有關稀疏重建的大量文獻現在可以用於混合預編碼設計 $\color{red}{（這也就是爲什麼OMP方法能夠精彩地應用到HBF設計中）}$ 。當然，爲了讓上述問題的數學表達形式看起來更加直觀一點，可以考慮 $\mathbf{F}_{\text { opt }}$ 是一個列向量的情況，此時的數學問題表達形式就是：

再去參照任何一本講解著名算法OMP的書籍就可以更直觀地理解這種表達形式（具體可以參照《矩陣分析與應用》（第2版）張賢達著）。綜上所述，基於OMP的空間稀疏預編碼算法可以表示爲：

Hybrid combining設計

博主認爲該文章的亮點之三是：OMP的方法不光是能夠在precoding的時候使用，在combining的時候同樣可以使用。在接收端本文考慮的是最小均方誤差（mean-squared-error，MSE）。因此，combiner的設計問題可以表示爲：

在無任何硬件約束的條件下，最小均方誤差combiner可以求得閉式解：

首先相目標函數展開，去除掉與 $\mathbf{W}_{\mathrm{RF}}$ 和 $\mathbf{W}_{\mathrm{BB}}$ 無關的項，然後加入與 $\mathbf{W}_{\mathrm{RF}}$ 和 $\mathbf{W}_{\mathrm{BB}}$ 無關的項: $\operatorname{tr}\left(\mathbf{W}_{\mathrm{MMSE}}^{*} \mathbb{E}\left[\mathbf{y y}^{*}\right] \mathbf{W}_{\mathrm{MMSE}}\right)-\operatorname{tr}\left(\mathbb{E}\left[\mathbf{s s}^{*}\right]\right)$ ，最後巧妙地得到了一個精彩的目標函數等價表達式（具體推導參照論文）： $\mathcal{J}\left(\mathbf{W}_{\mathbf{R F}}, \mathbf{W}_{\mathrm{BB}}\right)=\left\|\mathbb{E}\left[\mathrm{yy}^{*}\right]^{1 / 2}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{MMSE}}-\mathbf{W}_{\mathrm{RF}} \mathbf{W}_{\mathrm{BB}}\right)\right\|_{F}^{2}$
因此，原combiner優化問題可以重新表示爲：

可以看出：這與發送端precoder的稀疏重構問題十分十分地相似，因此，這也就是爲什麼發送端的OMP算法能夠應用到接收端的combiner設計。接收端combiner的稀疏重構問題可以表示爲如下：

其中 $\mathbf{A}_{\mathrm{r}}=\left[\mathbf{a}_{\mathrm{r}}\left(\phi_{1,1}^{\mathrm{r}}, \theta_{1,1}^{\mathrm{r}}\right), \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{t}}\left(\phi_{N_{\mathrm{cl}}, N_{\mathrm{rav}}}^{\mathrm{r}}, \theta_{N_{\mathrm{cl}}, N_{\mathrm{ray}}}^{\mathrm{r}}\right)\right]$ 是大小爲 $N_{\mathrm{r}} \times N_{\mathrm{cl}} N_{\mathrm{ray}}$ 的陣列響應向量矩陣。 $A_{\mathrm{r}}$ 和 $\widetilde{\mathbf{W}}_{\mathrm{BB}}$ 的定義可以結合論文參照上面precoder中的講解。綜上，combiner的設計算法僞代碼爲：

對於不同 $N_{\mathrm{t}}^{\mathrm{RF}}$ 和 $N_{\mathrm{r}}^{\mathrm{RF}}$ 的關係，作者給了兩種策略去設計，即：

論文中還有一小節是介紹有限反饋下的空間稀疏預編碼，感興趣的讀者可以自行去閱讀，但是文章的精華部分已經在上面的介紹中給出。