混合波束成形專欄|進階：深入淺出混合波束賦形

系列前一篇文章 混合波束成形專欄|基礎：深入淺出5G，毫米波，大規模MIMO與波束賦形， 幫助了許多需要幫助的人。這幾個月一直偷懶，沒有寫文章。需要再次強調的是，寫這一系列文章的主旨在於： 許多人以把簡單的事情講複雜來顯示自己的牛逼， 而我則喜歡把複雜的東西說簡單來證明自己的努力。今天想寫一下關於混合波束成形的算法設計。

前言

混合波束賦形專欄| 對5G熱門研究技術：混合波束成形算法的討論與經典論文的推敲，一點拙見，如有偏頗，望不吝賜教，盼即賜復。

系統模型與數學建模

關於MIMO，波束成形和5G毫米波等基本概念，可以參考前作 混合波束成形專欄|基礎：深入淺出5G，毫米波，大規模MIMO與波束賦形，應該是全網講的最簡潔清晰的攻略了。 因此，後續的推導將默認你們已經掌握上一篇的基礎上進行。

首先，傳統的MIMO系統如下圖所示

圖中數據處理部分，除了 發送端數字域的數據處理， 還需要包括

• 發送端的DAC （數字信號轉模擬信號）
• 發送端的上變頻操作
• 接收端的ADC（模擬信號轉數字信號）
• 接收端的下變頻操作

用於實現這一系列操作的被稱爲射頻鏈路 (Radio Frequency chain， RF chain)。而在傳統的MIMO中，爲每根天線配置了一條射頻鏈路。其優點在於，可以對輸入信號進行數字域的數據處理（即任意地調整信號的幅度和相位）後直接輸送到發送天線進行發送。這樣的數據處理也被稱爲全數字波束成形 (Fully-digital beamforming)。 而缺點在於，隨着天線數目的增長（5G系統大規模MIMO中，天線數可達數百），已經無法負擔爲每根天線都配置一條對應的RF chain的開銷。於是，爲降低硬件開支，混合波束成形 (Hybrid analog and digital beamforming, HBF)結構應運而生。

圖片出自HBF的經典論文，其讀書筆記可參考前作 混合波束賦形專欄|基於正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit）法的混合波束賦形算法。簡單說下其結構和各符號的意義：

• $N_\mathrm{s}$: 發送信號的維度，也可以稱爲 同一時刻發送了$N_\mathrm{s}$路信號。

• $N_\mathrm{t}$, $N_\mathrm{r}$： 發送與接收天線數

• $N^t_\mathrm{RF}$, $N^r_\mathrm{RF}$：發送與接收的RF chain數目

• $\mathbf{F}_\mathrm{BB}$, $\mathbf{W}_\mathrm{BB}$：發送和接收 數字波束成形矩陣

• $\mathbf{F}_\mathrm{RF}$, $\mathbf{W}_\mathrm{RF}$：發送和接收 模擬波束成形矩陣
  值得一提的是，很多論文中將發送波束成形矩陣稱爲預編碼矩陣 (precoder)， 接收稱爲(combiner)，如果看到的話知道這是一回事就可以了。
  這張圖其實已經反映了HBF的核心特徵：大大降低了RF chain的數目，從而節約了硬件開銷。需要重點注意的是模擬波束成形和數字波束成形的區別。爲了降低RF chain，後續的模擬波束成形是在模擬域（射頻）上操作的，因此，主流結構使用相移器 (phase shifter)來實現。其優點是成本較低，缺點在於只能改變信號的相位。
  有一些基本的關係：首先，要發送$N_\mathrm{s}$路信號，至少需要$N^t_\mathrm{RF}\ge N_\mathrm{s}$路射頻鏈路。同時，爲減輕硬件開銷，往往有$N^t_\mathrm{RF}<< N_\mathrm{t}$。通過數學建模的方式，把整個運作流程給大家過一遍：

• $N_\mathrm{s} \times 1$的發送向量 $\mathbf{s}$, 經過數字域的波束成形(線性變換, 可表示爲維度爲$N^t_\mathrm{RF} \times N_\mathrm{s}$ 的矩陣 $\mathbf{F}_\mathrm{BB}$, 得到維度爲 $N^t_\mathrm{RF} \times 1$的向量。

• 接下來，由相移器實現的模擬波束成形矩陣 （建模爲維度是$N^t_\mathrm{t} \times N_\mathrm{RF}$的矩陣$\mathbf{F}_\mathrm{RF}$)對信號進行處理，得到發送天線上實際待發送的信號，維度爲$N^t_\mathrm{t} \times 1$的信號$\mathbf{x}=\mathbf{F}_\mathrm{RF}\mathbf{F}_\mathrm{BB}\mathbf{s}$。

• 發送信號經過MIMO信道，可以將該線性變換建模爲$N_\mathrm{r} \times N_\mathrm{t}$的信道矩陣$\mathbf{H}$。即接收天線上收到信號爲$\mathbf{r} = \mathbf{H}\mathbf{x}$。

• 接收端會做一個和發送端鏡像的操作，即先通過模擬波束成形後再進行數字波束成形。 最終得到的信號爲 $\hat{s}=\mathbf{W}_\mathbf{BB}^H\mathbf{W}_\mathbf{RF}^H\mathbf{r}$。這裏，將接收端的操作寫爲$\mathbf{W}_\mathbf{RF}^H$而不是$\mathbf{W}_\mathbf{RF}$只是一種主流的寫法，其實兩者都是可以的。當寫爲$\mathbf{W}_\mathbf{RF}^H$時，$\mathbf{W}_\mathbf{RF}$的維度是$N_\mathrm{r} \times N_\mathrm{RF}$。

將整個式子展開來，接收到的信號可以建模爲：
$\hat{\mathbf{s}}=\mathbf{W}_\mathbf{BB}^H\mathbf{W}_\mathbf{RF}^H \mathbf{H}\mathbf{F}_\mathrm{RF}\mathbf{F}_\mathrm{BB}\mathbf{s}$

而全數字波束成形結構下，接收信號可表示爲
$\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{W}^H\mathbf{H}\mathbf{F}\mathbf{s}.$

可以看到純數字波束成形與混合波束成形的核心區別：

• 混合波束成形所需要設計的矩陣數目更多（共有4個）
• 由於硬件實現上的區別， $\mathbf{F}_\mathrm{RF}$, $\mathbf{W}_\mathrm{RF}$是由相移器實現的，因此只能改變信號的相位，對應於數學建模後的限制爲，矩陣的每一個元素的模爲1. 這一限制也叫做恆模約束，是HBF設計問題中最棘手的限制之一。（改變信號的角度等價於信號乘以 $e^{j\theta}$, $\theta$爲改變的角度值）。
• 同時，對於寬帶信道（如OFDM系統），由於$\mathbf{F}_\mathrm{RF}$, $\mathbf{W}_\mathrm{RF}$是在射頻上實現，因此無法對每個子載波進行各自的模擬波束成形。相反，由於$\mathbf{F}_\mathrm{RF}$, $\mathbf{W}_\mathrm{RF}$是對經過RF chain後的時域信號進行線性變換，因此，對應到頻域上是對每個子載波進行了相同的操作。也就是說，所有的子載波信號經過了同樣的$\mathbf{F}_\mathrm{RF}$, $\mathbf{W}_\mathrm{RF}$處理。這個後面會再提到。爲了便於理解，這篇文章考慮的是簡單的窄帶情形，也就不涉及這一問題。
• 儘管引入了許多限制，增大了波束成形的難度，但這樣的結構大大降低了硬件開銷（主要是減少了RF chain的數目）。

設計算法的思路

正因爲硬件上帶來的限制，使得傳統MIMO波束成形的算法無法直接使用到大規模MIMO的HBF結構下。因此，提出適用於HBF結構的算法十分必要。在筆者所看過的所有HBF文章中，其實設計算法的思路只有如下兩種：

• 目標爲 最小化$\left\|\mathbf{F}_{\mathrm{opt}}-\mathbf{F}_{\mathrm{RF}} \mathbf{F}_{\mathrm{BB}}\right\|_{F}$。
  $\mathbf{F}_{\mathrm{opt}}$表示全數字波束成形下的最優解。 由於在過去的幾十年中，人們在傳統小規模MIMO下的研究已有了較深的積累，因此已有無數成熟的算法來求解全數字波束成形下的最優解。而這一思路的優點可以概括爲：站在前人的肩膀上，使用傳統純熟的算法求解出全數字最優解，然後設計HBF矩陣（即$\mathbf{F}_{\mathrm{RF}} \mathbf{F}_{\mathrm{BB}}$）使其儘可能的逼近該最優解。因此，數學建模爲最小化兩者差的F範數。
  有許多文章使用了這一做法，較爲經典的是這兩篇文章。

  • Spatially sparse precoding in millimeter wave MIMO systems
  • Alternating minimizatioalgorithms for hybrid precoding in millimeter wave MIMO systems
    如果想進一步深入HBF算法設計的，筆者認爲這兩天文章是必讀的。這種思路的優劣勢如下：
  • 優點： 可以利用過去幾十年對數字波束成形的研究成果。一種算法可以應對各種不同的性能指標（如Spectral Efficiency (SE), MSE），這樣處理也可以簡化問題，發送端和接收端可以被解耦，獨立求解。
  • 缺點：性能上會有所損失，相當於把優化問題近似爲了一個矩陣拆分問題，那麼最終求出的結果也不會是最優的結果。

• 直接作爲一個全新的問題，不依賴於過去的算法，直接以性能指標爲優化目標對四個矩陣進行優化。有兩篇較爲典型的文章。

  • Hybrid digital and analog beamforming design for large-scale antenna arrays
  • Hybrid Beamforming for Millimeter Wave Systems Using the MMSE Criterion
    這種思路直接以優化目標函數來formulate優化問題並直接求解，優缺點恰恰與上一種思路相反。上述的兩篇文章分佈以SE 和 MSE爲目標對四個矩陣進行優化，想進一步深入HBF的也值得一看。

一些仍然值得研究的問題

5G HBF的算法設計時至今日，也已有了多年的積累。本文所描述的系統模型和算法設計思路，基本已經被學者們做透了，然而，仍然有許多問題，值得進一步的探討和思考

• 更進一步的硬件限制–部分連接結構。 本文描述的系統模型中的模擬波束成形結構，被稱爲fully-connected，即全連接結構。 這個結構需要$N_\mathrm{t}\times N_\mathrm{RF}$個相移器，這一開銷也十分昂貴。因此， Alternating minimizatioalgorithms for hybrid precoding in millimeter wave MIMO systems中提出了一種partially-connected的結構，下圖展示了兩者的區別：
  
  左圖中，每個RF chain和天線間都有一個相移器連接（這也是爲什麼我們可以把模擬波束成形操作建模爲一個矩陣），而右圖的partially-connected結構中，每根天線只與一個相移器相連。顯然，這一結構會對問題的求解引入新的限制，即$\mathbf{F}_\mathrm{RF}$, $\mathbf{W}_\mathrm{RF}$需要滿足是一個塊對角矩陣。在實際中，partially-connected結構更節約硬件開銷，更易於工程實現，因此該結構下的算法非常值得研究。

• 更進一步的硬件限制–有限精度的相移器。 在本文討論的結構中，我們在設計$\mathbf{F}_\mathrm{RF}$, $\mathbf{W}_\mathrm{RF}$矩陣時只考慮了其只能改變信號相位的限制。而事實上，在實際中相移器所要改變信號角度的精度也是有限的 （本文所提到的文章中均假設了無限精度的相移器）。考慮實際的限制，那麼$\mathbf{F}_\mathrm{RF}$, $\mathbf{W}_\mathrm{RF}$中的元素應該只能在一個離散的集合中選取。 一般我們將相移器按精度描述爲n-bit 相移器，對應的就是有$2^n$種相位可以選擇，即模擬波束成形矩陣的元素只能在$2^n$種相位中選擇。

• 另一種硬件思路–有限精度ADC/DAC。這個其實和本文關係不大，也不是HBF的範疇了，但適用於大規模MIMO系統，因此簡單提一下。其思路就是，全數字波束成形的缺點就在於RF chain太多，而RF chain太多的核心問題是數模轉換器和模數轉換器的成本太高。因此，這種思路是我不降低RF chain的數目，但每個RF chain只使用成本較低的有限精度ADC/DAC，以此來降低成本。

• 信道估計與信道信息。 本文所提到的論文中，都是假設了完美已知的信道信息，側重於波束成形設計。但實際中，如何精確估計信道信息是一個非常重要的話題。同樣，全數字結構下的信道估計方法不能直接套用到HBF結構下進行信道估計。而對於波束成形設計而言，能夠對信道估計誤差進行一些魯棒性的設計，會更加難能可貴。