TopCoder SRM697 div1 hard【prufer序列】

題目大意：

有n≤2000$n\le 2000$ 個城市，每個城市有個權值wi$w_i$ ，任意兩個城市之間的道路數有wi∗wj$w_i\ast w_j$ 條。對於每種生成樹，設每個點的度數爲di$d_i$ ，其權值定義爲∏di$\prod d_i$ 。問所有無根生成樹的權值和。答案對109+7${10}^9+7$ 取模。

解題思路：

主要說一下思路和推導過程。
考慮生成樹中的一條邊 (i,j)$(i,j)$ 有 wi∗wj$w_i\ast w_j$ 種選擇，那麼一種生成樹有 ∏wdii$\prod w_i^{d_i}$ 種同構，所以一種生成樹的權值其實是∏(wdiidi)$\prod (w_i^{d_i}{d}_i)$

考慮prufer序列，一個prufer序列對應一種無根樹，且一個點度數爲 a$a$ ，就會在序列中出現 a−1$a-1$ 次，那麼

ans=∑∑ai=2n−2(n−2)!∏(ai−1)!∏(waiiai)$$ans=\sum _{\sum a_i=2n-2}\frac{(n-2)!}{\prod (a_i-1)!}\prod (w_i^{a_i}{a}_i)$$

=(n−2)!∏wi∑∑ai=n−21∏ai!∏[waii(ai+1)]$$=(n-2)!\prod w_i\sum _{\sum a_i=n-2}\frac{1}{\prod a_i!}\prod [w_i^{a_i}(a_i+1)]$$

考慮後半部分怎麼算，即

∑a1+⋯+an=n−21a1!⋯an!wa11⋯wann(a1+1)⋯(an+1)$$\sum _{a_1+\cdots +a_n=n-2}\frac{1}{a_1!\cdots a_n!}{w}_1^{a_1}\cdots w_n^{a_n}(a_1+1)\cdots (a_n+1)$$

將(a1+1)⋯(an+1)$(a_1+1)\cdots (a_n+1)$ 展開，計算每個單項式的貢獻，如a1a2a3$a_1{a}_2{a}_3$ ，那麼有：

==∑a1+⋯+an=n−21a1!⋯an!wa11⋯wanna1a2a3w1w2w3∑a1+⋯+an=n−2−31a1!⋯an!wa11⋯wannw1w2w3(w1+⋯+wn)n−2−3(n−2−3)!$$\begin{array}{rl}& \sum _{a_1+\cdots +a_n=n-2}\frac{1}{a_1!\cdots a_n!}{w}_1^{a_1}\cdots w_n^{a_n}{a}_1{a}_2{a}_3\\ \\ =& w_1{w}_2{w}_3\sum _{a_1+\cdots +a_n=n-2-3}\frac{1}{a_1!\cdots a_n!}{w}_1^{a_1}\cdots w_n^{a_n}\\ \\ =& w_1{w}_2{w}_3\frac{(w_1+\cdots +w_n{)}^{n-2-3}}{(n-2-3)!}\end{array}$$

據此，我們可以推斷出，原式就等於:

∑k=0n−2(∑1≤p1<p2<⋯<pk≤n∏i=1kwpi)(w1+⋯+wn)n−2−k(n−2−k)!$$\sum _{k=0}^{n-2}\left(\sum _{1\le p_1<p_2<\cdots <p_k\le n}\prod _{i=1}^k{w}_{p_i}\right)\frac{(w_1+\cdots +w_n{)}^{n-2-k}}{(n-2-k)!}$$

設fk$f_k$ 表示選 k$k$ 個 wi$w_i$ 的乘積和，可以用O(n2)$O(n^2)$ 的dp預處理出，那麼

ans=(n−2)!∏wi∑k=0n−2 fk (w1+⋯+wn)n−2−k(n−2−k)!$$ans=(n-2)!\prod w_i\sum _{k=0}^{n-2}{f}_k\frac{(w_1+\cdots +w_n{)}^{n-2-k}}{(n-2-k)!}$$

時間複雜度O(n2)$O(n^2)$