大素数测试的Miller-Rabin算法

Miller-Rabin算法本质上是一种概率算法，存在误判的可能性，但是出错的概率非常小。出错的概率到底是多少，存在严格的理论推导。

费尔马小定理

• 如果p 是质数且(a,p)=1 ，则有ap−1≡1(modp)。
  当然反过来不一定成立。即当ap−1%p=1 时，p 未必是质数。但是这个概率比较小。所以利用费尔马小定理来检测素数，不能保证时刻都对，只能保证出错的概率比较小。
  给定正整数n，问n是否为质数（显然只需判断正奇数），最基本的做法就是计算2n−1%n 是否为1。如果不是1，n肯定为合数；否则，n可能为质数。

有限域上的平方根定理

• 如果p 是一个奇质数且e≥1 ，则方程
  
  x2≡1(modpe)
  
  仅有两个根x=1 或者x=−1 ，注意到在模p 的意义下，x=−1 等价于x=p−1 ，±1 也称为1的平凡平方根
• 很容易有一个推论，如果对模n存在1的非平凡平方根，n一定是合数

Miller-Rabin算法

利用上面两个定理，就可以构造出Miller-Rabin算法。考虑到n肯定是奇数(偶数的情况自己想去)，则n一定可以表示为n−1=2s∗d ，其中s≥1 且d 是奇数。则

an−1=a2s∗d=(((ad)2)...)2

也就是说，an−1 相当于ad 平方若干次。例如当n=7 时，an−1 就是a6 ，就是a3 的平方。当n=13 时，an−1 就是a12 ，就是a3 的平方的平方。
以n=13 的情况进行说明（所有运算都是在模n的意义下，以下的文字说明省略了这一点），任取一个a,1<a<13 ，计算a3 ，再将其平方一次得到a6 ，注意到a3 是a6 的平方根（废话），根据平方根定理的推论，如果a6=1且a3≠±1 ，则n 肯定是合数。将a6 平方一次得到a12 ，同样，如果a12=1且a6≠±1 ，则n 肯定是合数。最后，根据费尔马小定理，如果a12≠1 ，则n 肯定是合数。否则，n 有极大概率为质数。
为了增加得到正确判断的概率，可以将a 重复取不同的值，对每一个a 验证一次ad 到an−1 的过程。不过，考虑到ACM的特殊性，测试数据应该不会选择伪素数特别是强伪素数。所以很多题目的AC程序实际上只来一次即可。

typedef long long llt;
//利用二进制计算a*b%mod
llt multiMod(llt a,llt b,llt mod){
    llt ret = 0LL;
    a %= mod;
    while( b ){
        if ( b & 1LL ) ret = ( ret + a ) % mod, --b;
        b >>= 1LL;
        a = ( a + a ) % mod;
    }
    return ret;
}

//计算a^b%mod
llt powerMod(llt a,llt b,llt mod){
    llt ret = 1LL;
    a %= mod;
    while( b ){
        if ( b & 1LL ) ret = multiMod(ret,a,mod),--b;
        b >>= 1LL;
        a = multiMod(a,a,mod);
    }
    return ret;
}

//Miller-Rabin测试,测试n是否为素数
bool Miller_Rabin(llt n,int repeat){
    if ( 2LL == n || 3LL == n ) return true;
    if ( !( n & 1LL ) ) return false;

    //将n分解为2^s*d
    llt d = n - 1LL;
    int s = 0;
    while( !( d & 1LL ) ) ++s, d>>=1LL;

    srand((unsigned)time(0));
    for(int i=0;i<repeat;++i){//重复repeat次
        llt a = rand() % ( n - 3 ) + 2;//取一个随机数,[2,n-1)
        llt x = powerMod(a,d,n);
        llt y = 0LL;
        for(int j=0;j<s;++j){
            y = multiMod(x,x,n);
            if ( 1LL == y && 1LL != x && n-1LL != x ) return false;
            x = y;
        }
        if ( 1LL != y ) return false;
    }
    return true;
}