密碼學08(RSA密碼、EIGamal密碼)

RSA密碼

非對稱密碼，分組密碼

數學基礎

• 歐拉函數：
  對於一個正整數n，小於n且與n互素的正整數的個數，記爲φ(n)。
  對於一個素數n，可知φ(n) = n - 1
  對於兩個素數p和q，他們的乘積n = p * q，則φ(n) = (p-1) * (q-1)。

φ(n) = p*q-(q-1)-(p-1) -1 = (p-1) * (q-1)
最後-1是減去n本身

• 歐幾里得算法：
  gcd( a，b)表示a和b的最大公約數，gcd(a，b) = 1表示a，b最大公約數爲1，說明a、b互質。
• 同餘
  兩個整數a、b。若它們除以整數m所得的餘數相等，則稱a與b對於模m同餘，記作a ≡ b (mod m)。例如26 ≡ 2 ( mod12 )。

RSA加密與解密

• 參數定義和密鑰生成：
  ①選兩個大素數p和q （p、q保密）
  ②計算n = p * q和φ(n) = (p-1) * (q-1) （n公開，φ(n)保密）
  ③選一整數e，滿足1 < e < φ(n) ，且gcd(φ(n)，e) = 1（e公開，e就是公鑰）
  ④計算d，滿足d * e ≡ 1 （mod φ(n)）（d保密，d就是私鑰），由於p、q都爲素數，則φ(n)一定爲2的倍數，因此d、e一定都不爲2。
• 加密
  c = m^e mod n
• 解密
  m = c^d mod n
  由此可見密文和明文分組長度最大爲n的位數，在存儲時一般也按照n的位數來存儲。

已知p、q如何求d？
①算出n = p * q，φ(n) = (p-1) * (q-1)
②隨機選擇一個小於φ(n)且互質的整數e
③使用擴展的歐幾里得算法求d

• 特點
  加解密可逆，可同時確保數據的祕密性和真實性。
  效率高效，核心運算爲模冪運算
• 安全性
  RSA密碼的安全性在於大合數的因子分解，應當採用足夠大的整數n，一般至少取1024位以上。

Diffie-Hellman密鑰交換

素數q和其本原根α是兩個公開的整數，
用戶A先選擇一數字X_A < q作爲私鑰，再計算Y_A = α^XA作爲公鑰，將Y_A發送給B。
用戶B先選擇一數字X_B < q作爲私鑰，再計算Y_B = α^XB作爲公鑰，將Y_B發送給A。
兩人都可以計算出公共密鑰K = Y_B^XA mod q和K = Y_A^XB mod q，
這兩個K是相同的。
攻擊者在知道q、α、Y_A、Y_B的情況下想要知道K的值就必須要算出私鑰X_A或X_B，X_A = dlog_α、q(Y_B)，這是非常困難的。

破解方法：中間人攻擊
假設此時攻擊者C截獲了發送過程中的Y_A和Y_B，由於q和α是公開的，所以C可以選擇兩個私鑰Xc，僞造兩份Yc發給A和B，這樣A、B會錯以爲他們之間已經共享密鑰K，然而實際上A、B只是分別和C共享了密鑰K1和K2，這樣A、B之間發送的加密消息都會被C竊聽和篡改。

EIGamal密碼

這是基於離散對數問題上的公開密鑰密碼體系。

數學基礎

• 有限域：對於素數p，整數集合（0,1,2……p-1），在mod p意義下，關於四則運算構成域，當域的元素數目有限時稱爲有限域。
• 階：有限域中元素的個數，比如，模19下7的階爲3。（a、p互質，使得a^d ≡ 1 (mod p)成立的最小正整數d稱爲a對模p的階。）

7¹ mod 19 = 7
7² mod 19 = 11
7³ mod 19 = 1
階爲3

• 本原元（原根）：設p爲素數，若存在一個正整數g使得g¹ 、g²、g³……g^p-1 關於模p互不同餘，即模p下g的階爲φ( p ) = p - 1， 則稱g爲模p的本原元。 如果存在a^d ≡ 1 (mod p)， 且階d = φ(n)，那麼a就是p的本原元，一個域的本原元可能不唯一。

EIGamal的加密和解密

• 參數定義和密鑰生成
  ①選取大素數p，並且要求p-1有大素數因子，再選取一個模p的本原元g。p、q爲系統中所有用戶共享。
  ②系統中每個用戶U都隨機挑選一個整數X_U，1 <= X_U <= p-1。並計算：Y_U = g^Xu mod p.
  ③用戶的公鑰爲（Y_U，p，q），私鑰爲X_U
• 加密算法：
  選一數k，k滿足k<p且gcd(k, p-1) = 1,計算a = g^k ^mod p和b = y^k *M mod p。其中（a，b）爲密文對。
• 解密算法：
  接收方收到密文對後，計算M = b * (a^x ) ^-1 mod p

數字簽名

特徵

驗證簽名的真實性
不可僞造
不可改變
不可抵賴
驗證消息的完整性