密码学08(RSA密码、EIGamal密码)

RSA密码

非对称密码，分组密码

数学基础

• 欧拉函数：
  对于一个正整数n，小于n且与n互素的正整数的个数，记为φ(n)。
  对于一个素数n，可知φ(n) = n - 1
  对于两个素数p和q，他们的乘积n = p * q，则φ(n) = (p-1) * (q-1)。

φ(n) = p*q-(q-1)-(p-1) -1 = (p-1) * (q-1)
最后-1是减去n本身

• 欧几里得算法：
  gcd( a，b)表示a和b的最大公约数，gcd(a，b) = 1表示a，b最大公约数为1，说明a、b互质。
• 同余
  两个整数a、b。若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。例如26 ≡ 2 ( mod12 )。

RSA加密与解密

• 参数定义和密钥生成：
  ①选两个大素数p和q （p、q保密）
  ②计算n = p * q和φ(n) = (p-1) * (q-1) （n公开，φ(n)保密）
  ③选一整数e，满足1 < e < φ(n) ，且gcd(φ(n)，e) = 1（e公开，e就是公钥）
  ④计算d，满足d * e ≡ 1 （mod φ(n)）（d保密，d就是私钥），由于p、q都为素数，则φ(n)一定为2的倍数，因此d、e一定都不为2。
• 加密
  c = m^e mod n
• 解密
  m = c^d mod n
  由此可见密文和明文分组长度最大为n的位数，在存储时一般也按照n的位数来存储。

已知p、q如何求d？
①算出n = p * q，φ(n) = (p-1) * (q-1)
②随机选择一个小于φ(n)且互质的整数e
③使用扩展的欧几里得算法求d

• 特点
  加解密可逆，可同时确保数据的秘密性和真实性。
  效率高效，核心运算为模幂运算
• 安全性
  RSA密码的安全性在于大合数的因子分解，应当采用足够大的整数n，一般至少取1024位以上。

Diffie-Hellman密钥交换

素数q和其本原根α是两个公开的整数，
用户A先选择一数字X_A < q作为私钥，再计算Y_A = α^XA作为公钥，将Y_A发送给B。
用户B先选择一数字X_B < q作为私钥，再计算Y_B = α^XB作为公钥，将Y_B发送给A。
两人都可以计算出公共密钥K = Y_B^XA mod q和K = Y_A^XB mod q，
这两个K是相同的。
攻击者在知道q、α、Y_A、Y_B的情况下想要知道K的值就必须要算出私钥X_A或X_B，X_A = dlog_α、q(Y_B)，这是非常困难的。

破解方法：中间人攻击
假设此时攻击者C截获了发送过程中的Y_A和Y_B，由于q和α是公开的，所以C可以选择两个私钥Xc，伪造两份Yc发给A和B，这样A、B会错以为他们之间已经共享密钥K，然而实际上A、B只是分别和C共享了密钥K1和K2，这样A、B之间发送的加密消息都会被C窃听和篡改。

EIGamal密码

这是基于离散对数问题上的公开密钥密码体系。

数学基础

• 有限域：对于素数p，整数集合（0,1,2……p-1），在mod p意义下，关于四则运算构成域，当域的元素数目有限时称为有限域。
• 阶：有限域中元素的个数，比如，模19下7的阶为3。（a、p互质，使得a^d ≡ 1 (mod p)成立的最小正整数d称为a对模p的阶。）

7¹ mod 19 = 7
7² mod 19 = 11
7³ mod 19 = 1
阶为3

• 本原元（原根）：设p为素数，若存在一个正整数g使得g¹ 、g²、g³……g^p-1 关于模p互不同余，即模p下g的阶为φ( p ) = p - 1， 则称g为模p的本原元。 如果存在a^d ≡ 1 (mod p)， 且阶d = φ(n)，那么a就是p的本原元，一个域的本原元可能不唯一。

EIGamal的加密和解密

• 参数定义和密钥生成
  ①选取大素数p，并且要求p-1有大素数因子，再选取一个模p的本原元g。p、q为系统中所有用户共享。
  ②系统中每个用户U都随机挑选一个整数X_U，1 <= X_U <= p-1。并计算：Y_U = g^Xu mod p.
  ③用户的公钥为（Y_U，p，q），私钥为X_U
• 加密算法：
  选一数k，k满足k<p且gcd(k, p-1) = 1,计算a = g^k ^mod p和b = y^k *M mod p。其中（a，b）为密文对。
• 解密算法：
  接收方收到密文对后，计算M = b * (a^x ) ^-1 mod p

数字签名

特征

验证签名的真实性
不可伪造
不可改变
不可抵赖
验证消息的完整性