空間分割難題

問：在r維空間中，r-1維“平面”最多可以把空間切割成多少部分？

結論：

若在r維空間中，r-1維超平面最多可以把空間切割成W(n,r)部分，則W(n,r)= C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+…+C(n,r)。（其中，C(n,i) =n!/(i!(n-i)!)表示n個數中取i個數組合的個數(i=0,1,2,…,r)，當n＜r時，C(n,i)=0）。

故當r=3時，w(n,3)=(n^3+5n+6)/6

當r=2時，w(n,2)=(n^2+n+2)/2

證明如下：
設n-1個r-1維超球面可把r維超球面分割的部分最多爲W(n-1,r)，再加入一個r-1維超球面，要保證使這n個r-1維超球面把r維超球面分割的部分最多，就必須使已有的n-1個超球面和這超球面相交的n-1個r-2維超圓把後加入的這個r-1維超球面分割的部分最多，因此得到
　　W(n,r)-W(n-1,r)=W(n-1,r-1)           (3)
對r用數學歸納法證明：
當r爲奇數時，W(n,r)= 2C(n,1)+2C(n,3)+…+2C(n,r)
當r爲偶數時，W(n,r)= 2C(n,0)+2C(n,2)+…+2C(n,r)
當r=1時，即n個雙點（0維球面）最多可以把圓（1維球面）分爲2n部分，而2n=2C(n,1)，即r=1時結論成立。
當r=2時，即n個圓（1維球面）最多可以把球面（2維球面）切割成n*n-n+2部分，而n*n-n+2=2C(n,0)+ 2C(n,2)，即r=2時結論成立。
假設r=k-1時結論成立，即k-1維超球面Q上的i（i=n-1,…,1）個k-2維超圓可把Q分割爲：
當k-1爲奇數時
　　W(n-1,k-1)=2C(n-1,1)+2C(n-1,3)+…+2C(n-1,k-1)
　　W(n-2,k-1)=2C(n-2,1)+2C(n-2,3)+…+2C(n-2,k-1)
　　…… …… …… …… …… …… ……
　　W(k-1,k-1)=2C(k-1,1)+2C(k-1,3)+…+2C(k-1,k-1)
　　W(k-2,k-1)=2C(k-1,1)+2C(k-1,3)+…+2C(k-3,k-3)
　　…… …… …… …… …… …… ……
　　W(2,k-1)=2C(2,1)
　　W(1,k-1)=2C(1,1)
當k-1爲偶數時
　　W(n-1,k-1)=2C(n-1,0)+2C(n-1,2)+…+2C(n-1,k-1)
　　W(n-2,k-1)=2C(n-2,0)+2C(n-2,2)+…+2C(n-2,k-1)
　　…… …… …… …… …… …… ……
　　W(k-1,k-1)=2C(k-1,0)+2C(k-1,2)+…+2C(k-1,k-1)
　　W(k-2,k-1)=2C(k-1,0)+2C(k-1,2)+…+2C(k-3,k-3)
　　…… …… …… …… …… …… ……
　　W(2,k-1)=2C(2,0)+2C(2,2)
　　W(1,k-1)=2C(1,0)
　　而由(3)可得
　　W(n,k)-W(n-1,k)=W(n-1,k-1)
　　W(n-1,k)-W(n-2,k)= W (n-2,k-1)
　　…… …… …… …… …… …… ……
　　W(2,k)-W(1,k)=W(1,k-1)
　　將上面n-1個等式兩端相加得
　　W(n,k)-W(1,k)=W(1,k-1)+W(2,k-1)+…+W(n-1,k-1)
因爲一個k-1維超球面只能把經過它的k維超球面切爲兩部分，因此W(1,k)=2=2C(n,0) =2C(1,1)，從而有
1.當k-1爲奇數時
　　W(n,k)=2C(n,0)+[2C(1,1)+ 2C(2,1)+…+2C(n-1,1)]
     +[2C(3,3)+2C(4,3)+…+2C(n-1,3)]
　　　…… …… …… …… ……
     +[2C(k-1,k-1)+2C(k,k-1)+…+2C(n-1,k-1)]      (4)
由楊輝三角恆等式C(m,n)+C(m,n+1)=C(m+1,n+1)有
C(1,1)+C(2,1)+…+C(n-1,1)
=[C(2,2)+C(2,1)]+C(3,1)+…+C(n-1,1)
=[C(3,2)+C(3,1)]+…+C(n-1,1)
…… …… …… …… ……
=C(n-1,2) +C(n-1,1)=C(n,2)
同理可得：
 　  C(3,3)+C(4,3)+…+C(n-1,3)=C(n,4)
　　　…… …… …… …… ……
  　 C(k-1,k-1)+C(k,k-1)+…+C(n-1,k-1)=C(n,k)
代入(4)得
　　　W(n,k)=2C(n,0)+2C(n,2)+…+2C(n,k)
2.當k-1爲偶數時
　　W(n,k)=2C(1,1)+[2C(1,0)+2C(2,0)+…+2C(n-1,0)]
     +[2C(2,2)+2C(3,2)+…+2C(n-1,2)]
　　　…… …… …… …… ……
  　 +[2C(k-1,k-1)+2C(k,k-1)+…+2C(n-1,k-1)]      (5)
由楊輝三角恆等式C(m,n)+C(m,n+1)=C(m+1,n+1)有
C(1,1)+[C(1,0)+C(2,0)+…+C(n-1,0)]
=[C(1,1)+C(1,0)]+C(2,0)+…+C(n-1,0)
=[C(2,1)+C(2,0)]+…+C(n-1,0)
…… …… …… …… ……
=C(n-1,1) +C(n-1,0)=C(n,1)
同理可得：
 　  C(2,2)+C(3,2)+…+C(n-1,2)=C(n,3)
　　　…… …… …… …… ……
  　 C(k-1,k-1)+C(k,k-1)+…+C(n-1,k-1)=C(n,k)
代入(5)得
　　　W(n,k)=2C(n,1)+2C(n,3)+…+2C(n,k)
由數學歸納法原理知，任意的r-1維超球面最多可以把r維超球面切割成W(n,r)部分，則
當r爲奇數時
W(n,r)= 2C(n,1)+2C(n,3)+…+2C(n,r)
當r爲偶數時
W(n,r)= 2C(n,0)+2C(n,2)+…+2C(n,r)。