概率統計-方差與正態分佈（高斯分佈）

方差

方差表示的是一組數據相對於平均數$\mu$的離散程度

在數據統計中，大部分情況下都是不能對總體的數據進行統計。比如統計一批鍵盤使用壽命，如果鍵盤都去做壽命測試，那都測壞了沒法賣錢養家了。
此時需要從一批鍵盤中隨機挑選一些鍵盤去代表總數進行測試。即抽取一些樣本，對樣本的計算結果去估計總體的一些情況。

平均數的計算公式 $\mu$ = $\frac {\sum_{i=1}^n x_i} {n}$ ， 樣本的平均數和總體的平均數求法一致的；

總體方差的計算公式$\sigma^2$ = $\frac{ {\sum_{i=1}^n} {(x_i - \mu )^2} } {n}$ ；

樣本方差計算公式 $\sigma^2$ = $\frac{ {\sum_{i=1}^n} {(x_i - \mu )^2} } {n-1}$ 。

之所以分母是n-1，在樣本數據足夠大且無異常數據的情況下，分母可以爲n 。
結論：樣本估計的方差是總體方差的$\frac {n−1} {n}$倍，樣本方差的期望是總體方差的一個無偏估計 。
無偏估計：是多次隨機取樣本計算，此時樣本就會無限接近總體計算值，這個過程就是無偏估計。

$\frac {n} {n-1}S^2$ = $\frac {n} {n-1}$ $\frac {\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2} {n}$ = $\frac {\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2} {n-1}$

正態分佈（高斯分佈）

正態分佈，常態分佈，高斯分佈在不同的文章中會有不同的說法，他們的意義都是一樣的。
通過上面的公式， 方差表示的是，觀察數據偏離中心趨勢（就是平均數）的離散程度。平均數表示觀察數據的一般化情況。
知道觀察數據的一般化情況和觀察數據離散程度，那麼就能得出很多特性了。
比如在平均數左右區間範圍內，通過這個區間範圍與$\sigma$ 標準差進行比較，就能得出對應的概率是多少，如果這種方式放到計算機中求一些大於某個數的概率是多少，計算機算法複雜度將會降到O(1)。由此就可以引出正態分佈這個利器了，正態分佈是前人已經整理好的東西，我們直接使用其結論解決問題就可以了。

正態分佈的公式 $f(x)$ $=$ $\frac{1} {\sigma \sqrt{2 \pi} }$ $e^{- \frac {(x-\mu)^2} {2 \sigma^2}}$ 也可以表示成 $f(x)$ $=$ $\frac{1} {\sigma \sqrt{2 \pi} }$ exp{ ${- \frac {(x-\mu)^2} {2 \sigma^2}}$ } 。

得到了計算公式，標準差 $\sigma$ 爲 2，平均數爲$\mu$ 爲 0。得到如下圖。

正態分佈高的意義

之前一直好奇，正態分佈圖像的高是什麼意思。可以通過計算得出，根據上面已知的$\sigma$和$\mu$，帶入公式，可以的出$f(0)$等於 0.19947114020071635 。
那麼高的意義是什麼呢：
正態分佈在計算概率密度時候，是根據距離中心值(平均值)的距離，然後求出對應圖像的面積即是對應的概率；
如上所述，既然是求得面積得出對應的概率值。有了與中位值的距離，也就是寬。那麼也應該需要有高。這裏的高就是正態分佈曲線存在的意義；
有時候離散程度（$\sigma$ 標準差）大一點，那麼這個縱軸就需要配合着降低點高度。因爲圖形面積（概率密度）要保證在距離中心位置（$\mu$平均數）的 $\sigma$標準差 範圍內是一個固定值；這裏也是體現正態分佈縱軸（高度）的意義。
從正態分佈的特性中，都知道，在距離一個 若干倍的 $\sigma$ 範圍內概率 是 固定值 。

下圖可以看出，在若干倍的 $\sigma$ 範圍內的概率分佈。所以正態分佈都是前人準備好的，根據橫軸就能得出概率密度了。

正態分佈函數與函數積分 Java代碼實現

爲了能夠快速驗證，把Java代碼貼出來。
normfun是正態分佈函數 $f(x)$ $=$ $\frac{1} {\sigma \sqrt{2 \pi} }$ exp{ ${- \frac {(x-\mu)^2} {2 \sigma^2}}$ } 的代碼。

代碼的mu變量是公式中的 $\mu$ 平均數，sigma變量是公式中的 $\sigma$ 標準差，x就是變量中的x。

private static double normal(double x, double mu, double sigma) {
    double denominator = Math.pow(Math.E, -(((x - mu) * (x - mu)) / (2 * sigma * sigma)));
    double numerator = sigma * Math.sqrt(Math.PI * 2);
    return denominator / numerator;
}

驗證正態分佈函數是否滿足性質，需要對正態分佈函數求定積分，如下代碼貼出了正態分佈函數的定積分代碼。

private static double calculate(double upperLimit, double lowerLimit) {
    double distence = 0.01;
    double count = (upperLimit - lowerLimit) / distence;
    double sum = 0;
    for (double i = 0; i < count; i++) {
        double calSum = lowerLimit + distence * i;
        double fxHigh = normal(calSum, 0, 2);
        double fxSquare = fxHigh * distence;
        sum += fxSquare;
    }
    return sum;
}

水平原因，錯誤難以避免，希望批評並不吝指出，謝謝！