A* - 台部落

初識A*算法

A*在遊戲中有很典型的用法，是人工智能在遊戲中的代表。

A*算法在人工智能中是一種典型的啓發式搜索算法，爲了說清楚A*算法，我看還是先說說何謂啓發式算法。

一、何謂啓發式搜索算法

在說它之前先提提狀態空間搜索。狀態空間搜索，如果按專業點的說法就是將問題求解過程表現爲從初始狀態到目標狀態尋找這個路徑的過程。通俗點說，就是在解一個問題時，找到一條解題的過程可以從求解的開始到問題的結果（好象並不通俗哦）。由於求解問題的過程中分枝有很多，主要是求解過程中求解條件的不確定性，不完備性造成的，使得求解的路徑很多這就構成了一個圖，我們說這個圖就是狀態空間。問題的求解實際上就是在這個圖中找到一條路徑可以從開始到結果。這個尋找的過程就是狀態空間搜索。

常用的狀態空間搜索有深度優先和廣度優先。廣度優先是從初始狀態一層一層向下找，直到找到目標爲止。深度優先是按照一定的順序前查找完一個分支，再查找另一個分支，以至找到目標爲止。這兩種算法在數據結構書中都有描述，可以參看這些書得到更詳細的解釋。

前面說的廣度和深度優先搜索有一個很大的缺陷就是他們都是在一個給定的狀態空間中窮舉。這在狀態空間不大的情況下是很合適的算法，可是當狀態空間十分大，且不預測的情況下就不可取了。他的效率實在太低，甚至不可完成。在這裏就要用到啓發式搜索了。

啓發式搜索就是在狀態空間中的搜索對每一個搜索的位置進行評估，得到最好的位置，再從這個位置進行搜索直到目標。這樣可以省略大量無畏的搜索路徑，提到了效率。在啓發式搜索中，對位置的估價是十分重要的。採用了不同的估價可以有不同的效果。我們先看看估價是如何表示的。

啓發中的估價是用估價函數表示的，如：

f(n) = g(n) + h(n)

其中f(n)是節點n的估價函數，g(n)實在狀態空間中從初始節點到n節點的實際代價，h(n)是從n到目標節點最佳路徑的估計代價。在這裏主要是h(n)體現了搜索的啓發信息，因爲g(n)是已知的。如果說詳細點，g(n)代表了搜索的廣度的優先趨勢。但是當h(n)>>g(n)時，可以省略g(n),而提高效率。這些就深了，不懂也不影響啦！我們繼續看看何謂A*算法。

二、初識A*算法

啓發式搜索其實有很多的算法，比如：局部擇優搜索法、最好優先搜索法等等。當然 A*也是。這些算法都使用了啓發函數，但在具體的選取最佳搜索節點時的策略不同。象局部擇優搜索法，就是在搜索的過程中選取“最佳節點”後捨棄其他的兄弟節點，父親節點，而一直得搜索下去。這種搜索的結果很明顯，由於捨棄了其他的節點，可能也把最好的節點都捨棄了，因爲求解的最佳節點只是在該階段的最佳並不一定是全局的最佳。最好優先就聰明多了，他在搜索時，便沒有捨棄節點（除非該節點是死節點），在每一步的估價中都把當前的節點和以前的節點的估價值比較得到一個“最佳的節點”。這樣可以有效的防止“最佳節點”的丟失。那麼A*算法又是一種什麼樣的算法呢？其實A*算法也是一種最好優先的算法。只不過要加上一些約束條件罷了。由於在一些問題求解時，我們希望能夠求解出狀態空間搜索的最短路徑，也就是用最快的方法求解問題，A*就是幹這種事情的！我們先下個定義，如果一個估價函數可以找出最短的路徑，我們稱之爲可採納性。A*算法是一個可採納的最好優先算法。A*算法的估價函數可表示爲：

f’(n) = g’(n) + h’(n)

這裏，f’(n)是估價函數，g’(n)是起點到終點的最短路徑值，h’(n)是 n到目標的最斷路經的啓發值。由於這個f’(n)其實是無法預先知道的，所以我們用前面的估價函數f(n)做近似。g(n)代替g’(n)，但 g(n)>=g’(n)纔可（大多數情況下都是滿足的，可以不用考慮），h(n)代替h’(n)，但h(n)<=h’(n)纔可（這一點特別的重要）。可以證明應用這樣的估價函數是可以找到最短路徑的，也就是可採納的。我們說應用這種估價函數的最好優先算法就是A*算法。哈！你懂了嗎？肯定沒懂！接着看！

舉一個例子，其實廣度優先算法就是A*算法的特例。其中g(n)是節點所在的層數，h(n)=0，這種h(n)肯定小於h’(n)，所以由前述可知廣度優先算法是一種可採納的。實際也是。當然它是一種最臭的A*算法。

再說一個問題，就是有關h(n)啓發函數的信息性。h(n)的信息性通俗點說其實就是在估計一個節點的值時的約束條件，如果信息越多或約束條件越多則排除的節點就越多，估價函數越好或說這個算法越好。這就是爲什麼廣度優先算法的那麼臭的原因了，誰叫它的h(n)=0，一點啓發信息都沒有。但在遊戲開發中由於實時性的問題，h(n)的信息越多，它的計算量就越大，耗費的時間就越多。就應該適當的減小h(n)的信息，即減小約束條件。但算法的準確性就差了，這裏就有一個平衡的問題。可難了，這就看你的了！

好了我的話也說得差不多了，我想你肯定是一頭的霧水了，其實這是寫給懂A*算法的同志看的。哈哈！你還是找一本人工智能的書仔細看看吧！我這幾百字是不足以將A*算法講清楚的。只是起到拋磚引玉的作用，希望大家熱情參與嘛！

深入A*算法

一、前言

在這裏我將對A*算法的實際應用進行一定的探討，並且舉一個有關A*算法在最短路徑搜索的例子。值得注意的是這裏並不對A*的基本的概念作介紹，如果你還對A*算法不清楚的話，請看姊妹篇《初識A*算法》。這裏所舉的例子是參考AMIT主頁中的一個源程序，使用這個源程序時，應該遵守一定的公約。

二、A*算法的程序編寫原理

我在《初識A*算法》中說過，A*算法是最好優先算法的一種。只是有一些約束條件而已。我們先來看看最好優先算法是如何編寫的吧。如圖有如下的狀態空間：（起始位置是A，目標位置是P，字母后的數字表示節點的估價值）

搜索過程中設置兩個表：OPEN和CLOSED。OPEN表保存了所有已生成而未考察的節點，CLOSED表中記錄已訪問過的節點。算法中有一步是根據估價函數重排OPEN表。這樣循環中的每一步只考慮OPEN表中狀態最好的節點。具體搜索過程如下：

1）初始狀態：

OPEN=[A5]；CLOSED=[]；

2）估算A5，取得搜有子節點，並放入OPEN表中；

OPEN=[B4，C4，D6]；CLOSED=[A5]

3）估算B4，取得搜有子節點，並放入OPEN表中；

OPEN=[C4，E5，F5，D6]；CLOSED=[B4，A5]

4）估算C4；取得搜有子節點，並放入OPEN表中；

OPEN=[H3，G4，E5，F5，D6]；CLOSED=[C4，B4，A5]

5）估算H3，取得搜有子節點，並放入OPEN表中；

OPEN=[O2，P3，G4，E5，F5，D6]；CLOSED=[H3，C4，B4，A5]

6）估算O2，取得搜有子節點，並放入OPEN表中；

OPEN=[P3，G4，E5，F5，D6]；CLOSED=[O2，H3，C4，B4，A5]

7）估算P3，已得到解；

看了具體的過程，再看看僞程序吧。算法的僞程序如下：

Best_First_Search()
{
　Open = [起始節點];
　Closed = [];
　while (Open表非空)
　{
　　從Open中取得一個節點X，並從OPEN表中刪除。
　　if (X是目標節點)
　　{
　　　求得路徑PATH；
　　　返回路徑PATH；
　　}
　　for (每一個X的子節點Y)
　　{
　　　if (Y不在OPEN表和CLOSE表中)
　　　{
　　　　求Y的估價值；
　　　　並將Y插入OPEN表中；
　　　}
　　　//還沒有排序
　　　else if (Y在OPEN表中)
　　　{
　　　　if (Y的估價值小於OPEN表的估價值)
　　　　　更新OPEN表中的估價值；
　　　}
　　　else //Y在CLOSE表中
　　　{
　　　　if (Y的估價值小於CLOSE表的估價值)
　　　　{
　　　　　更新CLOSE表中的估價值；
　　　　　從CLOSE表中移出節點，並放入OPEN表中；
　　　　}
　　　}
　　　將X節點插入CLOSE表中；
　　　按照估價值將OPEN表中的節點排序；
　　}//end for
　}//end while
}//end func

啊！僞程序出來了，寫一個源程序應該不是問題了，依葫蘆畫瓢就可以。A*算法的程序與此是一樣的，只要注意估價函數中的g(n)的h(n)約束條件就可以了。不清楚的可以看看《初識A*算法》。好了，我們可以進入另一個重要的話題，用 A*算法實現最短路徑的搜索。在此之前你最好認真的理解前面的算法。不清楚可以找我。我的Email在文章尾。

三、用A*算法實現最短路徑的搜索

在遊戲設計中，經常要涉及到最短路徑的搜索，現在一個比較好的方法就是用A*算法進行設計。他的好處我們就不用管了，反正就是好！^_*

注意下面所說的都是以ClassAstar這個程序爲藍本，你可以在這裏下載這個程序。這個程序是一個完整的工程。裏面帶了一個EXE文件。可以先看看。

先複習一下，A*算法的核心是估價函數f(n)，它包括g(n)和h(n)兩部分。g(n)是已經走過的代價，h(n)是n到目標的估計代價。在這個例子中g(n)表示在狀態空間從起始節點到n節點的深度，h(n)表示n節點所在地圖的位置到目標位置的直線距離。啊！一個是狀態空間，一個是實際的地圖，不要搞錯了。再詳細點說，有一個物體A，在地圖上的座標是(xa,ya)，A所要到達的目標b的座標是(xb,yb)。則開始搜索時，設置一個起始節點1，生成八個子節點2- 9 因爲有八個方向。如圖：

仔細看看節點1、9、17的g(n)和h(n)是怎麼計算的。現在應該知道了下面程序中的f(n)是如何計算的吧。開始講解源程序了。其實這個程序是一個很典型的教科書似的程序，也就是說只要你看懂了上面的僞程序，這個程序是十分容易理解的。不過他和上面的僞程序有一些的不同，我在後面會提出來。

先看搜索主函數：

void AstarPathfinder::FindPath(int sx, int sy, int dx, int dy)
{
    NODE *Node, *BestNode;
    int TileNumDest;
    //得到目標位置，作判斷用
    TileNumDest = TileNum(sx, sy);
    //生成Open和Closed表
    OPEN = ( NODE* )calloc(1,sizeof( NODE ));
    CLOSED=( NODE* )calloc(1,sizeof( NODE ));
    //生成起始節點，並放入Open表中
    Node=( NODE* )calloc(1,sizeof( NODE ));
    Node->g = 0;
    //這是計算h值
    // should really use sqrt().
    Node->h = (dx-sx)*(dx-sx) + (dy-sy)*(dy-sy);
    //這是計算f值，即估價值
    Node->f = Node->g+Node->h;
    Node->NodeNum = TileNum(dx, dy);
    Node->x = dx; Node->y = dy;
    // make Open List point to first node
    OPEN->NextNode=Node;
    for (;;)
    {
        //從Open表中取得一個估價值最好的節點
        BestNode=ReturnBestNode();
        //如果該節點是目標節點就退出
        // if we've found the end, break and finish break;
        if (BestNode->NodeNum == TileNumDest)
        //否則生成子節點
        GenerateSuccessors(BestNode,sx,sy);
    }
    PATH = BestNode;
}

再看看生成子節點函數：

void AstarPathfinder::GenerateSuccessors(NODE *BestNode, int dx, int　dy)
{
    int x, y;
    //哦！依次生成八個方向的子節點，簡單！
    // Upper-Left
    if ( FreeTile(x=BestNode->x-TILESIZE, y=BestNode->y-TILESIZE) )
        GenerateSucc(BestNode,x,y,dx,dy);
    // Upper
    if ( FreeTile(x=BestNode->x, y=BestNode->y-TILESIZE) )
        GenerateSucc(BestNode,x,y,dx,dy);
    // Upper-Right
    if ( FreeTile(x=BestNode->x+TILESIZE, y=BestNode->y-TILESIZE) )
        GenerateSucc(BestNode,x,y,dx,dy);
    // Right
    if ( FreeTile(x=BestNode->x+TILESIZE, y=BestNode->y) )
        GenerateSucc(BestNode,x,y,dx,dy);
    // Lower-Right
    if ( FreeTile(x=BestNode->x+TILESIZE, y=BestNode->y+TILESIZE) )
        GenerateSucc(BestNode,x,y,dx,dy);
    // Lower
    if ( FreeTile(x=BestNode->x, y=BestNode->y+TILESIZE) )
        GenerateSucc(BestNode,x,y,dx,dy);
    // Lower-Left
    if ( FreeTile(x=BestNode->x-TILESIZE, y=BestNode->y+TILESIZE) )
        GenerateSucc(BestNode,x,y,dx,dy);
    // Left
    if ( FreeTile(x=BestNode->x-TILESIZE, y=BestNode->y) )
        GenerateSucc(BestNode,x,y,dx,dy);
}

看看最重要的函數：

void AstarPathfinder::GenerateSucc(NODE *BestNode,int x, int y, int dx, int dy)
{
    int g, TileNumS, c = 0;
    NODE *Old, *Successor;
    //計算子節點的 g 值
    // g(Successor)=g(BestNode)+cost of getting from BestNode to Successor
    g = BestNode->g+1;
    // identification purposes
    TileNumS = TileNum(x,y);
    //子節點再Open表中嗎？
    // if equal to NULL then not in OPEN list, else it returns the Node in Old
    if ( (Old=CheckOPEN(TileNumS)) != NULL )
    {
        //若在
        for( c = 0; c < 8; c++)
        // Add Old to the list of BestNode's Children (or Successors).
            if( BestNode->Child[c] == NULL )
                break;
        BestNode->Child[c] = Old;
        //比較Open表中的估價值和當前的估價值（只要比較g值就可以了）
        // if our new g value is < Old's then reset Old's parent to point to BestNode
        if ( g < Old->g )
        {
            //當前的估價值小就更新Open表中的估價值
            Old->Parent = BestNode;
            Old->g = g;
            Old->f = g + Old->h;
        }
    }
    else
    //在Closed表中嗎？
    // if equal to NULL then not in OPEN list, else it returns the Node in Old
    if ( (Old=CheckCLOSED(TileNumS)) != NULL )
    {
        //若在
        for( c = 0; c< 8; c++)
        // Add Old to the list of BestNode's Children (or Successors).
            if ( BestNode->Child[c] == NULL )
                break;
        BestNode->Child[c] = Old;
        //比較Closed表中的估價值和當前的估價值（只要比較g值就可以了）
        // if our new g value is < Old's then reset Old's parent to point to BestNode
        if ( g < Old->g )
        {
            //當前的估價值小就更新Closed表中的估價值
            Old->Parent = BestNode;
            Old->g = g;
            Old->f = g + Old->h;
            //再依次更新Old的所有子節點的估價值
            // Since we changed the g value of Old, we need
            // to propagate this new value downwards, i.e.
            // do a Depth-First traversal of the tree!
            PropagateDown(Old);
        }
    }
    //不在Open表中也不在Close表中
    else
    {
        //生成新的節點
        Successor = ( NODE* )calloc(1,sizeof( NODE ));
        Successor->Parent = BestNode;
        Successor->g = g;
        // should do sqrt(), but since we don't really
        Successor->h = (x-dx)*(x-dx) + (y-dy)*(y-dy);
        // care about the distance but just which branch looks
        Successor->f = g+Successor->h;
        // better this should suffice. Anyayz it's faster.
        Successor->x = x;
        Successor->y = y;
        Successor->NodeNum = TileNumS;
        //再插入Open表中，同時排序。
        // Insert Successor on OPEN list wrt f
        Insert(Successor);
        for( c =0; c < 8; c++)
        // Add Old to the list of BestNode's Children (or Successors).
        if ( BestNode->Child[c] == NULL )
            break;
        BestNode->Child[c] = Successor;
    }
}

哈哈！A*算法我懂了！當然，我希望你有這樣的感覺！不過我還要再說幾句。仔細看看這個程序，你會發現，這個程序和我前面說的僞程序有一些不同，在GenerateSucc函數中，當子節點在Closed表中時，沒有將子節點從 Closed表中刪除並放入Open表中。而是直接的重新的計算該節點的所有子節點的估價值（用PropagateDown函數）。這樣可以快一些！另當子節點在Open表和Closed表中時，重新的計算估價值後，沒有重新的對Open表中的節點排序，我有些想不通，爲什麼不排呢？:-(，會不會是一個小小的BUG。你知道告訴我好嗎？

A*

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大數卡特蘭數

歐拉函數FZU1969

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