求解最大子數組問題的三種方法

求解最大子數組問題的三種方法

標籤（空格分隔）： 算法 分治 最大子數組

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算法導論中有這樣一個例子來引出最大子數組問題：
在股市中，人們爲了獲取更大利益，希望“低價買進，高價賣出”，從而獲得最大收益。然而，簡單的以最低價格買入，最高價格賣出並不能獲得最大收益。我們可以不直接觀察每日股票的價格，而是考慮每日股票的價格變化值。第i 天的價格變化值定義爲第i 天的價格減去第i−1 天的價格。如果將這些值看成一個數組A，那麼，問題就是求A的和最大的非空連續子數組，即最大子數組（maximum subarray）。

• 輸入：數組A={13,−3,−25,20,−3,−16,−23,18,20,−7,12,−5,−22,15,−4,7}
• 輸出：最大子數組的和 43

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• 暴力解法

  • 算法思想
    枚舉數組中所有連續子序列的和，並求出其中的最大值。

  • 代碼

    int max_sub_array_tolient(int a[],int n){
    int this_sum;
    int max_sum = 0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=i;j<n;j++){
        this_sum = 0;
        for(int k = i;k<=j;k++){
            this_sum += a[k];
            if(this_sum>max_sum)
                max_sum = this_sum;
        }
    }
    }
    return max_sum;
    }
    

  • 算法分析
    很明顯，上述代碼嵌套三層循環，需要的時間複雜度爲O(n3) .

• 分治解法
  分治法（divide andconquer）是一種基於多分枝遞歸的算法範式。顧名思義，分治就是“分而治之”，即將原問題分解爲兩個或多個子問題，直到分解爲不能分解的子問題，然後將這些問題合併成原問題的解。

  • 算法思想
    假設我們要尋找A[low...high] 的最大子數組。我們需要將子數組劃分爲兩個規模大致相等的子數組。即我們將數組A[low...high] 劃分爲A[low...mid] 和A[mid+1...high] ,其中mid=(low+high)/2 。那麼，A[low...high] 中所有連續子數組A[i...j] 所處的位置一定是下面三種情況之一。
    
    • 完全位於子數組A[low...mid] 中，其中，low<=i<=j<=mid 。
    • 完全位於子數組A[mid+1...high] 中，其中，mid+1<=i<=j<=high
    • 既位於子數組A[low...mid] ,又位於A[mid+1...high] 中，其中low<=i<=mid<=j<=high .

由上述知，最大子數組必然位於子數組A[low...mid] ，或子數組A[mid+1...high] ，或跨越中點(mid) 的子數組中。我們可以遞歸的求解子數組A[low...mid] 與子數組A[mid+1...high] 的最大子數組。最後，求跨越中點(mid) 的最大子數組。
跨越中點的子數組一定由A[i...mid] 和A[mid+1...j] 組成。所以我們只需分別求出形如A[i...mid] 和A[mid+1...j] 的最大子數組，然後將其合併。

 - 代碼

    int max_sub_array(const int a[],int left,int right){
    if(left == right){
        if(a[left]>0)
            return a[left];
        else
            return 0;
    }
    int mid = (left+right)/2;
    //recursion
    int max_sum_left = max_sub_array(a,left,mid);
    int max_sum_right = max_sub_array(a,mid+1,right);

    int left_sum = 0;
    int sum = 0;
    for(int i = mid;i>=left;i--){
        sum += a[i];
        if(sum>left_sum)
            left_sum = sum;
    }

    int right_sum = 0;
    sum = 0;
    for(int i = mid+1;i<=right;i++){
        sum += a[i];
        if(sum>right_sum)
            right_sum = sum;
    }
    return max(max_sum_left,max_sum_right,left_sum+right_sum);

}

• 算法分析
  現在我們來分析上述算法的時間複雜度。假設總的耗費時間爲T(n) 。
  由上述代碼，第2~8行耗費常數時間，即O(1) 。第10~11行，求解n/2 個元素的子數組所耗費的時間爲T(n/2) 。第13~27行，求解跨越中點(mid) 的最大子數組的時間複雜度爲O(n) .所以，T(n)=O(1)+2T(n/2)+O(n) 。最後，求解該遞歸式，得時間複雜度爲O(nlgn) 。

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• online algorithm

利用online algorithm的思想，可以在線性時間內求得這個問題的解。

• 算法思想：

  從數組第一個元素開始，掃描數組，記錄到目前爲止處理過的最大數組。若已知A[1...j] 的最大子數組，那麼，下一步求A[1...j+1] 的最大子數組。此時，有兩種情況：

  A[1...j+1] 的最大子數組就是A[1...j] 的最大子數組；
  A[1...j+1] 的最大子數組爲某個子數組A[i...j+1](1<=i<=j+1) 。

在知道A[1...j] 的最大子數組情況下，可以在線性時間內找出形如A[i...j+1] 的最大子數組。具體實現，看下面代碼。

• 代碼

  int max_subarray_online(int a[],int n){
  int max_sum = 0;
  int this_sum = 0;
  for(int j = 0;j<n;j++){
      this_sum += a[j];
      if(this_sum>max_sum){
          max_sum = this_sum;
  
      }else if(this_sum < 0){
          this_sum = 0;
      }
  }
  return max_sum;
  }

• 算法分析

很明顯，上述算法的時間複雜度爲O(n) 。

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• 參考資料
  1:Introduction to Algorithms
  [2]:Data Structures and Algorithm Analysis in C

  [2]:Introduction to Algorithms