HDU 4827 Cycle Cocycle 01高斯消元 bitset加速 模板

题目链接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4827

题意

有一个n个点m条边的图，你要给每个点一个0或1的标号，使得每个点与偶数个相同标号的点之间有边。如果有多解输出任意一组。
题目保证一定有解。

思路

其实是sjt提醒我这题是高斯消元我才想到思路的，而且想了很久，自己觉得询问方案数，以及代数系统是模2的剩余系的题目，可能和高斯消元还是有一点关系把（比如比较经典的UVa 11542 HDU 5833）

如何建立方程是个难题，首先建立的方程组一定是n∗n 的01方程组，但是这题一开始很难看出方程怎么和题目有联系了，先根据样例列一个方程看看：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪?∗x1+1∗x2+1∗x3+1∗x4=?1∗x1+?∗x2+1∗x3+1∗x4=?1∗x1+1∗x2+?∗x3+0∗x4=?1∗x1+1∗x2+0∗x3+?∗x4=?

或者说是这样的增广矩阵

⎡⎣⎢⎢⎢⎢?1111?1111?0110?????⎤⎦⎥⎥⎥⎥

不妨考虑以下几个要素：
1. i行i列的取值是什么？也就是一个点建立出的方程要不要考虑它自己的取值？
2. 增广矩阵最后一列，也就是常数项的那一列取值应该是什么？

一个点列出的方程肯定和它周围节点相关的，枚举一个点在答案中的取值，于是可以列出下表：

答案中自身取值	是否考虑自己的权值	相邻点数	常数项取值
0	考虑	偶数	0
0	考虑	奇数	1
0	不考虑	偶数	0
0	不考虑	奇数	1
1	考虑	偶数	1
1	考虑	奇数	1
1	不考虑	偶数	0
1	不考虑	奇数	0

接下来希望讲清楚自己的思路QAQ，根据上面列出的表格，可以发现：
- 当一个点周围有奇数个点的时候，把它的系数置为1，那它的常数项必为1
- 当一个点周围有偶数个点的时候，把它的系数置为0，那它的常数项必为0

所以就可以通过高斯消元求解了（雾

这里不用bitset优化就会TLE，所以自己参照大白和网上的一个题解写了一个模板

代码

此代码稍作修改后就可以用来求解HDU 5833

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <bitset>

using namespace std;

typedef pair<int, int> P;
const int MAXN = 1e3 + 5;

int n, m;
bitset<MAXN> A[MAXN];
int x[MAXN];

// 建立线性方程组
// 建立出的方程组每行每列的第一个下标都是0
void setUpEquations(bitset<MAXN> A[MAXN]) {
  // 清空原方程组
  for (int i = 0; i < n; ++i) A[i].reset();
  // 建立方程组, 具体问题具体分析
  int u, v;
  for (int i = 0; i < m; ++i) {
    scanf("%d%d", &u, &v);
    --u; --v;
    A[u].set(v); A[v].set(u);
  }
  for (int i = 0; i < n; ++i) if (A[i].count() & 1) {
    A[i].set(i);
    // 因为bitset的常数较小，为省方便
    // 直接把增广矩阵的最后一列放在bitset的最后一列
    A[i].set(MAXN - 1);
  }
}

// 高斯-约当消元法
// m个方程， n个变量
void gauss(bitset<MAXN> A[MAXN], int *x, int m, int n) {
  // 第一步，化为对角阵
  int i = 0, j = 0, k, r, u;
  while (i < m && j < n) {
    r = i;
    for (k = i; k < m; ++k) if (A[k][j]) {
      r = k;
      break;
    }
    if (A[r][j]) {
      if (r != i) swap(A[r], A[i]);
      for (u = i + 1; u < m; ++u) if (A[u][j]) A[u] ^= A[i];
      ++i;
    }
    ++j;
  }
  int Rank = i;
  // 矩阵已经化简为对角阵，如果只需要求出矩阵的秩
  // （用于确定方程组有几组不同的解，如UVa 11542 HDU 5833）
  // 直接 return Rank; 即可

  // 第二步，回代变量，求解方程组
  // 本题中默认自由变量值为0
  for (i = 0; i < n; ++i) x[i] = 0;
  for (i = Rank - 1; i >= 0; --i) {
    if (A[i][MAXN - 1]) {
      u = 0;
      while (!A[i][u]) ++u;
      x[u] = 1;
      for (j = i - 1; j >= 0; --j) if (A[j][u]) {
        A[j][u] = 0;
        A[j].flip(MAXN - 1);
      }
    }
  }
}

int main() {
//  freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt", "w", stdout);
  int T, kase = 0;
  scanf("%d", &T);
  while (T--) {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    setUpEquations(A);
    gauss(A, x, n, n);
    printf("Case #%d:\n", ++kase);
    for (int i = 0; i < n; ++i) putchar('0' + x[i]);
    putchar(10);
  }
}