19年秋季第一題 PAT甲級 1161 Forever (20 分) 有點兒意思

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題目

7-1 Forever (20 分)

"Forever number" is a positive integer A with K digits, satisfying the following constrains:

• the sum of all the digits of A is m;
• the sum of all the digits of A+1 is n; and
• the greatest common divisor of m and n is a prime number which is greater than 2.

Now you are supposed to find these forever numbers.

Input Specification:

Each input file contains one test case. For each test case, the first line contains a positive integer N (≤5). Then N lines follow, each gives a pair of K (3<K<10) and m (1<m<90), of which the meanings are given in the problem description.

Output Specification:

For each pair of K and m, first print in a line Case X, where X is the case index (starts from 1). Then print n and A in the following line. The numbers must be separated by a space. If the solution is not unique, output in the ascending order of n. If still not unique, output in the ascending order of A. If there is no solution, output No Solution.

Sample Input:

2
6 45
7 80

Sample Output:

Case 1
10 189999
10 279999
10 369999
10 459999
10 549999
10 639999
10 729999
10 819999
10 909999
Case 2
No Solution

事先準備

這道題會用到幾個小的工具函數，一定要準備好：

//求最小公約數
int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

//檢驗不小於3的素數
bool isPrime(int n){
    if(n<3)return false;
    int x=(int)sqrt(n);
    for(int i=2;i<=x;i++){
        if(n%i==0)return false;
    }
    return true;
}

//求整數的每一位數之和
int sum(int n){
    return n==0?0:sum(n/10)+n%10;
}

陷阱

如果不按照尾數爲99的數枚舉，會超時。

那你是怎麼就這麼肯定的呢？

首先題目是Forever數，“長長久久”暗示了該有兩個九。其次呢，加一不進位的話，這兩個數的各位之和相差的是1，無論如何也不會有不小於三的最小公約數了吧。提出了這個假設之後可以自己寫一段程序驗證一下。

代碼 

//得分:20，滿分
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
using namespace std;
int k, n,m,a,b,c,d,num;
bool f=false;
struct node{
    int n,a;
};
int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
bool isPrime(int n){
    if(n<=2)return false;
    int sq=(int)sqrt(n);
    for(int j=2;j<=sq;j++){
        if(n%j==0)return false;
    }
    return true;
}
int sum(int n){
    return n==0? 0: n%10 + sum(n/10);
}
bool cmp(node &a,node &b){
    if(a.n!=b.n)return a.n<b.n;
    return a.a<b.a;
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d %d",&k,&m);
        printf("Case %d\n",i+1);
        a=(int)pow(10,k-3);//-3
        b=a*10;
        vector<node> v;
        for(int x=a;x<b;x++){
            c=x*100+99;
            d=sum(c+1);
            if(sum(c)==m && isPrime(gcd(d,m))){
                v.push_back({d,c});
            }
//        這段註釋掉的代碼可以驗證尾數爲99才行           
//        a=(int)pow(10,k-1);
//        b=a*10;
//        for(int x=a;x<b;x++){
//            d=sum(x+1);
//            if(isPrime(gcd(d,sum(x))) && x%100!=99)
//                printf("%d %d %d %d\n",d,x,sum(x),gcd(d,sum(x)));
//        }
        
        if(v.size()==0)printf("No Solution\n");
        else{
            sort(v.begin(),v.end(),cmp);
            for(auto it:v){
                printf("%d %d\n",it.n,it.a);
            }
        }
    }
    
    return 0;
}

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