《算法設計手冊》面試題解答 第五章：圖的遍歷 附：DFS應用之找掛接點

第五章面試題解答

5-31.

　　DFS和BFS使用了哪些數據結構?

解析：

　　其實剛讀完這一章，我一開始想到的是用鄰接表來表示圖，但其實用鄰接矩陣也能實現啊？後來才發現應該回答，BFS用隊列實現；DFS可以用棧實現也可以改寫成遞歸形式。用棧來消除遞歸改寫DFS也出現在《算法導論》的練習題22.3-6。

 

5-32.

　　寫一個函數，在遍歷二叉查找數的時候，輸出第i個結點。

解析：

　　模仿DFS遍歷時維護一個進入時間數組和完成時間數組的特點，維護一個全局變量n，在中序遍歷的時候，每遍歷一個結點就n++，直到n=i時打印這個結點，或者遍歷完成時仍然n!=i時報錯即可。

 

題外話：

　　第5章“圖遍歷”的Interview Problems部分確實只有這兩題，而第6章“帶權圖算法”乾脆就沒Interview Problems這一部分。其實圖本身的表示就比較複雜，幾個基本的圖算法雖然思路不難，但是代碼量不小，同時要寫繁瑣的初始化方法，寫具體算法實現時還要用到各種輔助數據結構，編碼起來想少都不行。況且就算真寫出來了，正確性的證明又很費功夫（比如拓撲排序、強聯通分支），因此面試時除了專門做這個方向的，很少會考到具體的代碼書寫，更不用說其他變形、改進了。這也就是爲什麼圖相關的面試題並不多的原因。

　　另外提一下，《算法設計手冊》上的拓撲排序和強聯通分支算法是基於邊分類的，而且它把DFS寫成了一個可擴充的框架；而《算法導論》則是利用最後完成時間來實現這兩個算法，在此之前把DFS寫成了一個子程序供這兩個算法調用。究竟孰優孰劣我不評價，從先入爲主和對我而言易於理解的角度和來說，我更傾向於使用後者。

 

DFS應用之找掛接點（Articulation Vertices，《算法導論》中文版的翻譯） 

　　既然提到了《算法設計手冊》上DFS的框架寫法了，這個算法正好來進行演示。（《算法導論》思考題22-2曾提到了這個概念）。

　　先來看看《算法設計手冊》版DFS框架：

//圖用鄰接表實現
//entry_time[]  某結點開始處理的時間
//exit_time[]    某結點處理完畢的時間
//discoverd[]    某個結點是否已被發現
//process_vertex_early() 某個結點剛發現時採取的處理
//process_edge() 對邊的處理
//process_vertex_late() 某個結點所有鄰接邊處理完後的動作
//以上三個函數決定了DFS的行爲，如果只需要基本的功能，可以實現爲空操作，或者輸出該結點/邊用於追蹤遍歷過程

dfs(graph *g, int v)
{
    edgenode *p; /* temporary pointer */
    int y; /* successor vertex */
    if (finished) return; /* allow for search termination */

    discovered[v] = TRUE;
    time = time + 1;
    entry_time[v] = time;
    process_vertex_early(v);
    p = g->edges[v];
    while (p != NULL) {
          y= p->y;
          if (discovered[y] == FALSE) {
               parent[y] = v;
               process_edge(v,y);
               dfs(g,y);
          }
          else if ((!processed[y]) || (g->directed))
               process_edge(v,y);
           if (finished) return;
               p = p->next;
     }
     process_vertex_late(v);
     time = time + 1;
     exit_time[v] = time;
     processed[v] = TRUE;
}    

　　掛接點是指，如果我們從連通圖中刪除這個結點，會導致圖不再連通。下圖中的白點就是掛接點，可以把它看作爲圖上最脆弱的點。

 

　　使用DFS或BFS寫一個暴力算法很簡單：刪除一個結點，用DFS或BFS判斷是否連通；恢復原圖，刪除下一個結點繼續判斷，直至所有接點都判斷過。如果結點數n個，邊數m個，暴力算法時間複雜度爲O(n(m+n))。

　　現在用DFS遍歷時生成樹的角度來看。對於這棵樹上所有在原圖的邊，歸爲TREE邊；其餘所有邊是BACK邊，即它們指向一個先於這個結點遍歷的另一個結點。

　　可以發現一些規律：

DFS樹的葉結點不可能是掛接點，刪去它樹的連通性未被破壞。只有樹的內結點可能是掛接點。

對於DFS樹的根，如果它只有一個孩子，那麼刪去它和刪去一個葉結點是一樣的。而孩子多於1個時，刪去根會導致孩子們不再連通，也即它是掛接點。 

對於一個BACK邊，它連接的兩個結點的TREE路徑（即DFS時形成的路徑）上的所有結點都不可能是掛接點。

　　尋找掛接點需要維護BACK邊連接DFS樹上結點與其祖先的信息。用reachable_ancesor[v]表示結點v用BACK邊能連接的最老祖先（初始化爲v），tree_out_degree[v]表示結點在DFS樹的出度。edge_classification(int x,int y)用於判斷(x,y)是TREE還是BACK。

int reachable_ancestor[MAXV+1]; /* earliest reachable ancestor of v */
int tree_out_degree[MAXV+1]; /* DFS tree outdegree of v */
process_vertex_early(int v)
{
    reachable_ancestor[v] = v;
}

process_edge(int x, int y)
{
    int class; /* edge class */
    class = edge_classification(x,y);
    if (class == TREE)
        tree_out_degree[x] = tree_out_degree[x] + 1;
    if ((class == BACK) && (parent[x] != y)) {
        if (entry_time[y] < entry_time[ reachable_ancestor[x] ] )
            reachable_ancestor[x] = y;
    }
}

int edge_classification(int x, int y)
{
    if (parent[y] == x) 
        return TREE;
    else
        return BACK;
}

　　下面是v與祖先的連通性和v是否是掛接點的關係，一共是三種情況：

　　用代碼實現在process_vertex_late()裏，即：

process_vertex_late(int v)
{
    bool root; /* is the vertex the root of the DFS tree? */
    int time_v; /* earliest reachable time for v */
    int time_parent; /* earliest reachable time for parent[v] */
    if (parent[v] < 1) { /* test if v is the root */
        if (tree_out_degree[v] > 1)
            printf("root articulation vertex: %d \n",v);
        return;
    }

    root = (parent[parent[v]] < 1); /* is parent[v] the root? */
    if ((reachable_ancestor[v] == parent[v]) && (!root))
        printf("parent articulation vertex: %d \n",parent[v]);

    if (reachable_ancestor[v] == v) {
        printf("bridge articulation vertex: %d \n",parent[v]);
        if (tree_out_degree[v] > 0) /* test if v is not a leaf */
            printf("bridge articulation vertex: %d \n",v);
    }

    time_v = entry_time[reachable_ancestor[v]];
    time_parent = entry_time[ reachable_ancestor[parent[v]] ];
    if (time_v < time_parent)
        reachable_ancestor[parent[v]] = reachable_ancestor[v];
}

 　　最後幾行用entry_time[v]表示v的年齡，time_v是v通過BACK邊達到的最老結點。如果v的parent能通過v的BACK到達v的最老祖先，那麼parent(v)肯定不是掛接點，下次處理parent(v)時做出這樣的標記讓它能通過v的BACK到達v的最老祖先。