對於《編程之美》上沒有提供答案和提示的1.18和4.11兩節，本文將綜合網絡上已有的部分資料，深入挖掘解題思路，並對目前尚未找到滿意答案的1.18節問題2給出算法解答。閱讀本文需要了解古典概型（百度 /維基）和組合數（百度 / 維基）的含義，以及掃雷遊戲中的各種符號。
《編程之美》上關於掃雷的概率有兩道題：1.18挖雷遊戲和4.11掃雷遊戲的概率。後者在網上已經有了令人滿意的解答，前者我還沒發現，相關內容也很少。經過近一天的研究，提出了一個自己的解法。這篇博文的寫作過程，同時也是我整理思路的過程。可能有的讀者還沒有看過這兩道題，或者看了之後記不大清楚了，先把兩個問題貼在下面：
1.18 挖雷遊戲
問題1：如果想給遊戲增加一個功能鍵，點擊就能查看剩餘所有未標識的方塊是否有地雷的概率。如何實現？
問題2：如果上一個問題太難了，可以先讓程序先標識所有有地雷的方塊。
4.11 掃雷遊戲的概率
在一個16*16的地雷陣中，有40個地雷。用戶點擊了兩下，出現如圖4-21的局面。分析圖4-22所示的這個局部。
問題1：當遊戲中有40個地雷沒有發現時，A、B、C三個方塊有地雷的概率(P(A)，P(B)，P(C))各是多少？
問題2：這個局面共有16*16=256個方塊，P(A)、P(B)、P(C)的相互大小關係和當前局面中總雷數有關係麼？比如從10個逐漸變化到240個，三者曲線如何變化、會不會相交？（建議用Matlab做解）
1.18節的問題2比較好解，而且可以同時標記必然沒有地雷的方塊；但問題1就困難了，暫且放一邊；讀了4.11節之後，會發現解4.11節的方法是可以用來理解1.18節的問題的。本文的主要方法就是使用網絡上對4.11節提供的解法和1.18節問題2的輔助功能，來完成問題1的解答。
先要明確地強調一點，1.18節的問題1、2與一些所謂的自動掃雷算法是不同的：對於確定爲無雷的方塊，並不做點擊動作；也即僅作概率分析，而不實際地翻開來確認並獲得更多信息。因此，有的自動掃雷算法可能每次並不是選擇無雷概率最大的方塊，包含了一些啓發式的嘗試。而這裏將會對當前狀態的所有方塊是否有雷的概率進行分析。比如http://www.verydemo.com/demo_c173_i10167.html，我覺得這就是個似是而非的自動掃雷解法，要保持當前狀態來標註概率，又沒讓你挖開看看，你知道的太多了，不對，應該是你做的太過火了。
爲了便於閱讀，我將一些定義（包括我自己的定義）做成了錨點，如果閱讀時忘記了前面的含義可以點擊鏈接來查看。
這裏先引入“8鄰接”的定義。這個定義來源於圖形學，如下圖，像素P周圍的這8個像素就是P的8鄰接像素。對應於掃雷問題，同樣的可以對一個方塊定義它的8鄰接方塊。
分析：
待標識概率的方塊可以根據是否與已經標識的方塊是8鄰接的分爲兩種，如果是，稱之爲“鄰接方塊”，反之則是“非鄰接方塊”。前者可以按照已標識的方塊提供的信息來輔助判斷，後者只能取平均概率。對應於原書的例圖，“鄰接方塊”是兩條黑線之間、既未挖開也未標記爲有地雷的方塊：
對於這兩種方塊，其有地雷的概率計算方法是不一樣的，下面會逐一分析。
爲了簡化原圖，同時解答1.18節問題1，先對必然有雷（即P(此方塊有雷)=1）和必然無雷（即P(此方塊有雷)=0）的方塊進行標識，並且把用旗子標識爲“有雷”的地區當作已知是有雷的方塊。步驟如下：
(1)（去掉插旗子的方塊）把這張圖中已經標識爲有雷的區域周圍8個鄰接區域計數減1，並把標識爲雷的區域的雷挖掉。同時，對於從1減爲0的方塊，還要把它8鄰接的所有未標識方塊標爲無雷。這個操作在解問題2之後可以用來進一步轉化，從而解決問題1。
等價轉化如下圖，其中紅色方塊是經過轉化的區域，紅色方塊且不含數字的標識此方塊已無可用信息。具體來說它是由三種方塊轉化而來：
原先標有數字的，此時它的8鄰接區域雷已排完；
原先是雷的，將其有雷概率標記爲1；
原先無雷的，將其有雷概率標記爲0。
注意：它是一種新的已標識方塊，而不是是否有雷未確定的未標識方塊。
(2)（標記必有雷和必無雷的方塊）對所有不爲0的區域，先計算周圍方塊必有雷的方塊。判斷規則：標爲“x”的方塊如果有x個8鄰接的未標識方塊，那麼必有雷。同時，由於這是由邏輯判斷得出的必有雷的區域，不是先前插上旗的，遊戲剩餘雷數計數器沒有變化，需要記錄推理出的雷數，並在剩餘雷數中減去。
(3)重複(1)(2)的轉化，直到標識完畢。在這個過程中，所有地雷概率爲0和1的鄰接方塊已經被處理且標記，問題2得到求解。上圖轉化爲：
並且，在這個過程中標記P(此塊有雷)=1的方塊一共10個，加上之前掃出的3個，那麼40個雷還剩下27個。
這裏再次強調，雖然有的方塊在處理中標記爲P(此塊有雷)=0，即必然無雷，但這只是邏輯推理，並不代表我們真的點開了這個方塊，它實際的數字是未知的，本身並不能提供周圍8鄰接的雷數信息，只能間接地提示它的8鄰接方塊的8鄰接中少了一顆雷而已。
(4)接下來是處理最後一部分，也即P(此方塊有雷)非0非1的部分。這裏借鑑了一個解答《編程之美》問題4.11思路，原內容來自任曉禕的博文，但是這個頁面我是打不開的，好在轉載的人多，比如這裏。另外還有一篇從一般情況入手的博文可以參考。
先簡單闡述一下其思想。（如果這部分沒看懂沒關係，看懂上面鏈接的兩篇就可以理解後面的思路）：
“子雷區”定義爲所有已知信息方塊的8鄰接中所有未挖開未標記方塊以及這些已知信息方塊的並集，例如以下幾個圖中的子雷區是黑框標出的部分，也是我在上面兩條黑線包圍的部分中未挖開未標記的部分。可見，“子雷區”和“鄰接方塊”是類似的，只不過"子雷區"描述的是這些方塊的總體外加一些已知信息，"鄰接方塊"描述的是個體。下面你會看到使用這個定義的方便之處。
思想：
對於M大小的雷區，其中共有N個雷；已知信息和待判斷位置位於一個M'大小的子雷區，先分析子雷區一共可能有多少個雷；對於每一種雷數，分析其分佈的情況總數，在乘以餘下的雷在子雷區之外的分佈情況，其和就是所有的分佈情況。待判斷位置有雷的概率是它在這些情況中有雷的情況數/所有分佈情況（根據古典概型），寫成公式如下：
現在繼續處理(4)中獲得的子雷區。標記“？”的定義爲“結合點”，對它討論可以把一個複雜的子雷區分成多個簡單的子雷區。比較巧合的是，《編程之美》1.18這個圖，先假設再分情況討論時會發現有種情況是不成立的，另一種情況只有唯一的可能：
這裏舉一個和上文圖不同的例子說明子雷區分別求解的過程。先做出“結合點無雷”假設的假設後，把子雷區分爲這樣兩個不相交的子雷區：
這時，要求解A處有雷的概率就稍微簡單了些。與單獨求解一個區域中點是否有雷的概率相比，這些子雷區之間的關係是：
所有子雷區的雷數+非子雷區的雷數+已確定是雷的雷數 = 總雷數。
利用從上述兩篇博文中獲得的思路，分析如下（這部分的公式是在Word裏打的，HTML編輯器玩的不熟，直接截了個圖粘上來）：
對於不在任何一個子雷區的其餘所有點，取任一個點X進行分析：
如果結合點分情況討論，那麼計算方法類似，可以表示爲：
這樣，對於原圖中所有點是否有雷的概率，都能給出了。
這下所有點的概率都能求了，似乎1.18節問題1也能解決了。對(1)(2)(3)這三步是這樣的，維護好包含有用信息的方塊和鄰接方塊的數據結構，這麼標出來所有P=0和P=1的方塊是不難的，然而第 (4)步就犯難了：如何把子雷區劃分成多個子雷區？結合點怎麼找？
先回避這個問題，讓計算機揚長避短，直接在未劃分的子雷區搜索所有可能的地雷分佈情況數，並統計在特定位置有雷的情況數，概率也就能算出來了。這時的子雷區已經很小了，處理起來不會很慢，不過要注意不能忽略子雷區以外的非鄰接方塊中地雷的分佈情況。
如果非要直面這個問題，讓計算機像人一樣找結合點、劃分子雷區、按結合點分情況計數當然也可以，但是編碼難度大，計算也未必快。可以注意到，與含有信息的已挖開方塊相連的鄰接方塊其實最多隻有一層，並且是一條直線。如果一個含有信息的已挖開方塊與兩層鄰接方塊相連，那麼相連的地方就是待討論的點，如下圖所示，紅色和藍色是兩條鄰接方塊的一層，紫色是鄰接點。接下來就是像人一樣分情況討論了，但由於實際劃分很複雜，而且這個所謂的討論其實還是讓計算機去進行可能情況的搜索，可能性能還不如上面的直接去搜索快一些。另外，我這裏給出的規律是自己總結的，不確定是否有疏漏，可靠性有限。
具體的編碼就略過了，主要過程是簡化原圖+搜索算法。按照(1)~(4)步，完全可以寫出僞代碼框架。
另外預先設計了幾個FAQ，當然各位看官如果有什麼問題，不要吝惜留言啊！
Q：1.18節標題是“挖雷遊戲”，4.11節標題成了“掃雷遊戲”，居然不一樣！
A：其實這也是我想吐槽的地方：前後不一致，《編程之美》裏可是不少，從代碼的語言到這小小的標題。
Q：既然有的方塊是否有雷能直接判斷出來，爲什麼不挖開從而獲得更多信息？
A：這個問題我在正文裏強調了兩遍了，直接點擊這個鏈接跳轉過去再讀一遍吧。
Q：在4.11中，按3*5區域中有3個雷還是2個雷進行了分情況計數。爲什麼不用全概率公式(百度/維基)？
A：P(A)=P(A|B1)*P(B1) + P(A|B2)*P(B2) + ... + P(A|Bn)*P(Bn)，A={A點有雷的概率}，Bi={3*5區域中有i個雷的概率}，
嗯，看上去很清楚，P(A|Bi)是容易計算了。但是P(Bi)你怎麼獲得？
Q：爲什麼對一些定義提供了兩個鏈接？
A：事實上我覺得文中出現的幾個定義，百度百科比維基百科闡述的清楚一些。當然有的人不喜歡百度，爲了照顧他們的情緒我把維基百科中的定義也附上了。
Q：分析了大半天，最後還是用搜索的方法，真失望。
A：是啊，我也有點失望。但我已經盡力剪枝了，剪到步驟(4) 才權衡是更精細的剪枝開銷大還是從這裏開始搜索開銷大。畢竟結合點的情況太多了，沒有進行很簡單的抽象。這還是比一開始就搜索要好很多了吧？
Q：我需要的是源代碼……
A：其實我可以直截了當地告訴你，博主在windows編程方面非常之poor，以至於現階段是不可能給你寫出源代碼的。自己努力吧！當然，如果你搞定了，記得把源碼發給我一份^ ^
Q：任曉禕的博文打不開，那些轉載裏的圖片也看不了，更不會用MATLAB，可還是想看看4.11的三條曲線。
A：這個希望還是能滿足的。不過注意到由於地雷數N是離散的，實際上繪出來的是散點圖，如下：
我甚至把MATLAB代碼都給你了，直接粘到m文件裏就能重現這個圖像：
n = 10:1:240; m = 256; %P(A) p1 = (2*n -4)./(3*m+7*n-56); plot(n,p1,'r') hold on %P(B) p2 = (n -2)./(10*m-7*n-126); plot(n,p2,'g') hold on %P(C) p3 = (20*m -17*n-246)./(50*m - 35*n - 570); plot(n,p3,'b') legend('P(A)','P(B)','P(C)')
不過要注意的是，在圖像中，P(B)看上去與P(A)和P(C)相交，但真的是這樣麼？別忘了這三條其實不是連續的曲線，而是離散的點的連線。
令P(A) = P(B)，解得N1 = 2,N2 = 4196/21，都不是10至240之間的整數，所以P(A)和P(B)其實沒有公共點。
再看看P(B)和P(C)，這裏解方程比較複雜，直接把圖像放大了看，交點似乎是221。帶入P(B)和P(C)的表達式，二者不相等，只是很近似。
結論是曲線看上去是相交的，但實際上並沒有公共點。怎麼樣，沒有被你的眼睛欺騙吧？
Q：博主，你的XX式子中的XX算錯了/掃雷圖中XX格分析錯了。
A：本文中所有式子和圖形標記我都進行了兩遍計算/檢查了兩遍，雖然仍有可能有遺漏的地方，不過也請您先驗證一下自己的論斷吧，如果確實有錯我會改正的。